SÉANCE DU 1 JUILLET 1906. 27 



J'appelle fraction conlinue re'i^ii/irre une fraction coiiliime telle que, 

 pour n ^ (', 



(3) ' fl„=(V,(«)P.., ? + s>p„>^>o, cfixe. 



U/ie/raclion conlinue régulière d'ordre (2, p) n 'est pas un nombre de l.iuu- 

 ville. 



Au contraire, m k = 'i, et si, (l;ius (2), l()grt„,> «l*"' loga, pour t<//, 

 (c' analogue à s), I est un nombre de [j'ouville. 



L'ensemble des nombres l de fJouville positifs réguliers (') d'indice 

 donné k^'5, et d'ordre (^k, p). où p prend toutes les valeurs positives finies >o, 

 engendre par addition et multiplication un groupe G de nombres de Liouville 

 d'indice <k et d'ordre <(/f, ao) (-). Ces nombres sont alors tous d'ordre 



En particulier, tout polynôme à coefficients rationnels positifs formé 

 avec les nombres réguliers en question appartient à G : !''(</ entier >o) 

 appartient à G. 



D'un autre côté, parmi les nombres de Liouville I d'indice donné ^^3, 

 il y en a une infinité qui ne sont puissances d'aucun autre nombre de Liou- 

 ville, par exemple les nombres J où 



a, = 2, «2=1. «2«+l= W-«+l. «2«+2= 9'^2«+2J « = i. 



a, entier étant assujetti aux seules conditions (i) et (2). I/eFW>emble des 



nombres J a (au sens de M. Cantor) la puissance du contiiui pour chaque 



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 v'aleur de k et p. Alors J'^^est d'ordre =(3, o), quel que soit k, et transcen- 

 dant. 



// existe une infinité de nombres transcendants d'ordre '^{'^, o), dont la 

 puissance q''"'" (</ entier) est d'ordre (k, p) > (3, o), où k et p sont arbitraires 

 (k entier^ 3, p>o). 



Seconde classific.vtion . — I est un nombre de Liouville quand (k, p) ^(2,1 ) 



(') C'est-à-dire égaux à une fraction continue régulière. 



(-) On peut trouver dans la tliéorie des fonctions enlières des propriélés analogues, 

 ddiil il sera question ailleurs plus en détail. .\ii]-i, soient o,, 'f.., ... un ensemble de 

 fondions entières telles que 'i,(iy) appartienne à rcnscinble, i|ue j'appellerai un 

 ^'if)upe V : l'ensemble des fonctions entières d'ordre non tianstiiii (Comptes rendus, 

 9 février ifjoS, p. 3'|8) fornie un groupe. I.es réMiUats sont [)lus précis avec les lonc- 

 lions d'ordre zéro. Il y a aussi des groii|)cs de fonctions entières jiar rapport à 1 addi- 

 tion, lu soustraction et la multiplication, etc. 



