SÉANCE DU 2 JUILLET 1906. 3l 



appliquant la formule fondamentale de la théorie de la capillarité, on 

 trouve : 



l'rcnoiis lin axe des z vertical, dirigé vers le liaiil; 11 et ir désignent les projections, 

 snr les axes des .r et des z, de la vitesse de la particule de coordonnées x, zh. l'époque t; 

 leurs dérivées complètes par rapport au temps s'écrivent 11' et u'; enfin, soit p la pres- 

 sion par unité d'aire à la mènie é|)oque l et au point (.r, z). Les équations d'incom- 

 pressibilité et il'Euler sont 



, ,, . du ()iv i dp , i du 



O.v (): p d.v 0: 



Intégrons la dernière de ces é(|ualions entre le point d'altitude ;, au-dessus du fond 

 du canal, et la surface; tenons compte de (2); introduisons la valeur de p ainsi 

 obtenue dans la deuxième équation (3); remarquons que tv' est très petit vis-à-vis 

 de u'. Appelons U la vitesse moyenne au temps t à travers une section d'abscisse .r : 

 U et ses dérivées sont petites comme /; et ses dérivées. En négligeant les termes petits 

 du troisième ordre, il vient ainsi, au lieu de (3), 



Idh „dU âh\J 

 -y- -h H -— 4- -j — = o, 

 at i).r (),c 



Si, maintenant, en vue d'une première approximation, nous négligeons 

 les termes petits du second ordre, ces équations s'écrivent 



Leur résolution bien connue (') donne, avec <p fonction arbitraire et 

 Ufl célérité de l'onde en première approximation, 



A 

 "ïï" 



(G) h^= o(^x — oigf), w„= \g\\, U = co 



Reprenons (4) en y évaluant suivant ces résultats (G) les termes petits 

 du second ordre : 



dh -..dV d />■' 



, . I af oa- ô.ï- H 



ôl ' » O.r ^211 d.c H ^ V 3 p y ôx' ~ ^' 



(') lioiissiNESQ, Essai sur ta théorie des eau.r courantes {Mémoires des Savants 

 élrani^ers, t. XXUI, p. 285 ). 



