SÉANCE DU ll\ SEPTEMBRE lyo6. 



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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Application du procédé de sommation 

 de M. E Borel aux séries trigonométriques généralisées. Noie de M. A. Buhl. 



Dans une Note précédente (7 mai 1906) j'ai établi les formules 



(0 ^t^v^2//(o:->v(.-^>'^. ^- 



?-a 



auxquelles j'attache de l'importance surtout parce qu'une multiplication 

 par F((p)c?(p et une intégration permettent d'en déduire une infinité de 

 séries nouvelles. Toutes ces séries sont susceptibles d'être sommées par le pro- 

 cédé de la moyenne arithmétique dû à M. E. Borel et déjà appliqué à la série 

 de Fourier par M. L. Fejér ÇUat/iematische Annalen, t. LVIII, 1904, p. 5i). 

 Partons de la première des formules (r) et considérons la somme 



v = -t-nT 



(ara + i)- 



?- 



cos 



3_a 

 - \ ^- — ; 



?-■ 



puis formons la moyenne envisagée par M. Borel 



„ /s _ S(,{.r) -h.fi(.r) -H. ■ .-+-5„_-i(.f) 



On trouve encore par des calculs élémentaires 



/ ■ ^ — ; 



/sin«-;3 



(p-x)S„(a.)=M- 



a—- 



[a- 





Considérons maintenant les limites, pour n croissant indéfiniment, des 

 deux intégrales 





