SÉAN'CE DV I" OCTOBRE 1906. 46 1 



land, qu'elles sont dues à des corpuscules électriques émanés du Soleil 

 et se mouvant sous l'influence du magnétisme terrestre. 



Dans la présente Note, nous allons considérer les trajectoires pério- 

 diques ou bien composées périodiquement de parties de la même forme, 

 ainsi que celles se rapprochant asymptotiquement de pareilles trajectoires. 

 En effet, il nous semble probable qu'une nuée de corpuscules électriques, 

 se mouvant le long d'une telle trajectoire, peut donner lieu à des pertur- 

 bations plus ou moins périodiques, par exemple à celles appelées par 

 M. Eschenhagen Elementarwellen des Erdmagnelismus. 



La recherche des Irnjectoires de la nature indiquée est un problème 

 semblable à celui consistant à trouver les trajectoires périodiques et asym- 

 ptotiques dans le problème des trois corps et qui peut être traité par les 

 méthodes de M. Poincaré. 



J'ai d'abord cherché des solutions périodiques du système IV de ma Note du 25 juin ; 

 à une telle solution périodique correspond, en eflFel, une infinité de trajectoires dans 

 l'espace, toutes situées sur la même surface de révolution et dont chacune est compo- 

 sée périodiquement de parties de la même forme. 



Comme première classe de solutions périodiques du système IV, citons celles qui 

 existent au moins pour — i = Y= — 0,8 et peut-être aussi pour -(■ plus grand et qui se 

 réduisent au point R = i , î = o quand y devient égal à — i . Les trajectoires corres- 

 pondantes dans l'espace sont de forme ondulatoire et se réduisent au cercle de rayon i 

 dans le plan équatorial, quand y devient égal à — i. Sur la figure les trajectoires I, 

 II et III représentent les trajectoires correspondant à y = — 0)999i ï^ — ^^^91 ^t 

 Y= — 0,8 respectivement. La longueur d'un arc de période AB est d'environ 3,63, 

 3,54 et 2,68 pour ces mêmes trois trajectoires. 



Une deuxième classe consiste en une infinité de courbes périodiques situées dans le 

 voisinage de certaines courbes passant par l'origine (voir ma Note du 23 juin), à 

 savoir celles qui ou bien rencontrent les courbes de niveau Q :r= o, ou bien passent 

 deux fois par l'origine sans rencontrer ces courbes. Pareils cas se présentent pour une 

 infinité de valeurs de y moindres que — 0,93. Quant aux trajectoires correspondantes 

 dans l'espace, elles se rapprochent en spirales, sans y arriver, par intervalles égaux, 

 ou bien toujours du même pôle de l'aimant élémentaire, ou bien alternative- 

 ment du pôle nord et du pôle sud, etc. Les trajectoires IV et V, correspondant à 

 Y = — 0,9-56 et Y = — o, 933.5 environ, sont de pareilles trajectoires passant par l'origine. 

 L'arc de courbe entre deux rapprochements consécutifs du pôle nord sera, pour les 

 trajectoires au voisinage de la trajectoire IV, d'environ 2,77; pour celles au voisinage 

 de la trajectoire V, d'environ 8,95. 



Les trajectoires jusqu'ici mentionnées font partie d'une famille plus étendue com- 

 prenant toutes celles où les courbes intégrales correspondantes du système IV rencon- 

 trent deux fois les lignes de niveau Q =r o. Cette famille contient une foule immense 

 de formes, dont la recherche par intégration numérique est assez laborieuse. La tra- 

 jectoire VI sur la figure en représente une qui est assez simple,; la longueur de son arc 



