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point P, de la courbe de contact rencontrera encore le cône en ra — ^ 

 points G. A l'arête OP, correspondent doncra — k arêtes OQ. Soit inverse- 

 ment donnée l'arête OQ. Elle doit rencontrer une courbe c^. dont le point P, 

 se trouve sur la courbe de contact du cône circonscrit au sommet O. Nous 

 avons déjà désigné par t le nombre des courbes c^ qui satisfont à ces condi- 

 tions; mais dans le cas actuel, où la droite OQ rencontre ladite courbe de 

 contact, k de ces courbes coïncident avec celle qui a le point d'intersection 

 (point de contact avec ip„) pour point P,, et ces A courbes ne fournissent 

 aucune arête OP, correspondant à OQ. Le nombre des arêtes OP, corres- 

 pondant à OQ est donc t — k. Comme encore les arêtes OQ correspondant 

 à OP, sont déterminées par un cône passant déjà k fois par OP,, le nombre 

 des coïncidences sera 



ra — k -\- t — k + ik p„ 



k de ces coïncidences ont lieu en chacune des jc arêtes de rebroussement 

 du cône, sans qu'aucun des «'^ points P'^ qui correspondent au point de 

 contact P, se trouve sur OP,. Le nombre à soustraire de a.', + a', + p' pour 

 trouver le nombre de coïncidences de P, et P., sera donc 



ra — k -\- / — k -\- ikp^ — kv.. 



Par la substitution des valeurs trouvées de oc',, a!, et P' on trouve que le 

 nombre de ces coïncidences est égal à 



A + a, -i- / — nk -\- n(r — k)-\- s -\- ar — nk — ra + k — t -^ k — ikp^ -H k-*.. 

 Au moyen des formules (i) et (2), on peut réduire cette expression à 



(6) oc, -ha^+l— (J + i)/-, 

 OÙ 



J = 2/Ja + 3n — V. — G, 

 ou bien, comme 2 (yo^ — i) = n' + x. — ia, 



(7) J = // — 1a^'^n — 4. 



Or, le nombre de coïncidences de P, et P!, est identique à celui des 

 coïncidences de P, et Pg. L'expression (6) indique donc le nombre cherché 

 des coïncidences de deux points correspondants d'une surface s„, caractérisée 



