SÉANCE DU 9 JUILLET 1906. III 



De plus nous devrions éviter le principe crindiiction complète, pendant 

 que, comme M. Poincaré l'a remarqué bien justement, toutes les dé- 

 monstrations publiées jusqu'ici en font emploi. (Quant au concept du 

 nombre, il est bien vrai que nous devons le construire nous-mêmes. Il y 

 en a bien quelque chose dans l'intuition immédiate, un fait vécu ou une 

 expérience ; mais ce résidu est de toute nécessité.) 



Le théorème d'équivalence est un théorème d'intuition. Pour démontrer 

 cela j'emploierai la terminologie de M. (]antor ; mais en soulignant en 

 même temps qu'une exposition plus étendue et plus précise ne pourrait 

 plus se servir des mots ensemble, etc. 



Soient X, Y des ensembles déterminés, X,, Y, des ensembles partiels de X 

 et de Y respectivement. Nous devons démontrer que, étant X ''^ Y, elY^^X,, 

 nous aurons toujours X '^ Y. 



La proposition X '^Y, signifie la su|)position de la loi (I) suivante : 



Un élément quelconque x de X détermine un et un seul élément y de Y; 

 donc cet y détermine aussi le x correspondant. Mais il y a un ou plusieurs élé- 

 ments de Y qui ne figurent pas dans cette loi. 



De même la proposition Y/^X, signifie la supposition d'une loi (II), 

 qu'il serait superflu de détailler encore. 



Prenons donc un élément quelconque x^ de X; après (I), il nous donne 

 un élément déterminé^, de Y; cet élément j', nous donne, puis par la 

 loi (H), un élément déterminé iCj de X,, etc. En faisant cela, nous ne 

 comptons pas; il n'y a là qu'un emploi des signes 1,2,... pour distinguer 

 les éléments de X. Mais les concepts suivre et suite doivent bien être ac- 

 ceptés comme concepts logiques définitifs. 



Ainsi la suite 



Xiy.x.y.,... 



peut toujours être continuée à droite, mais pas toujours à gauche. Si x, est 

 un élément deX,, la loi (II) donne un élément jo, qui précède immédia- 

 tement r; mais si .r, est un élément de X, qui ne se trouve pas dans X,, la 

 suite ne pourra plus être continuée à gauche. 



On voit donc que les cas possibles sont les suivants : 



La suite commence avec un élément de X. La suite commence avec un 

 élément de y. l^a suite peut toujours être prolongée à gauche. 



Les éléments x\ et oc\ de X nous donnent ainsi deux suites correspon- 

 dantes : 



(2) ^\y\<y2---- 



