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qui contient notre faisceau, et cela se fait sans altérer ni J (' ) ni a,, aj, k 

 et X. 



2. Les courbes c^ servant à déterminer les points Po correspondant à un 

 point quelconque P, de <p peuvent avoir des points d'intersection fixes ou 

 se trouvant sur des courbes fixes. Nous avons compté tous ces points au 

 nombre des a, points V^, en renvoyant seulement à la possibilité de déter- 

 miner à part et de soustraire de x les coïncidences qui en résultent. Or les 

 points d'intersection fixes fourniront la même contribution à a, et à x. On 

 peut donc négliger à la fois ces deux contributions. 



Supposons ensuite que toutes les courbes c^ rencontrent une section 

 plane fixe l, en \j.„ points et que / devienne courbe [j^j-tuple des surfaces y^^, 

 lieux (les courbes c^ appartenant aux points P, d'une section plane. Alors 

 au nombre des a.^ points P, qui correspondent à un point P, de / appar- 

 tiendront [J.2 qui se trouvent aussi sur /. A un point Pj de / correspondront 

 tous les points d'une courbe qui rencontre chaque section plane, y com- 

 pris /, on ;;., points P,. Cette courbe ne passe pas en général par Po ; car 

 nous avons supposé qu'il n'y ait aucune courbe de coïncidence. Selon le 

 principe de Cayley-Brill, /contiendra donc (y., + \i.. des x points de coïnci- 

 dence cherchée. 



D'autre part, jusqu'à présent, nous avons compris les \^.^ points qui se 

 trouvent sur une courbe fixe /, au nombre a^ [formule (i) de la précédente 

 communication] et, dans notre détermination de p [formule (2)], nous 

 n'avons fait aucune exception des p., «points d'intersection de la surface V^ 

 avec la section plane /j qui se trouvent sur la courbe fixe /. Les points de 

 la courbe fixe / seront donc aussi dans l'expression de x représentée 

 par [y., + fAo- On peut donc les négliger, eux aussi, à la fois dans les deux 

 membres de notre formule. 



Grâce aux considérations de notre n° 1 on peut faire autant, si toutes les 

 courbes c^ rencontrent un certain nombre de fois une courbe fixe faisant 

 partie d'un faisceau générique de 9. Bien entendu, c'est de courbes de ce 



faisceau qu'il faut se servir alors pour déterminer le terme -> et en parti- 

 culier des sections planes si la courbe fixe est elle-même une section plane. 

 Dans le cas oii la courbe fixe n'appartient pas à un faisceau générique de la 



(') Segre, Iniorno ad un cavalière délie superficie {Torino Àlli, vol. XXXI, 1896, 

 p. 485). 



