SÉANCE DU IJ OCTOBRK 1906. 515 



et dont les courbures priacipnles sont données par les équations 



(9) r; = HV,, r; = -iiv,. 



M. Bianchi a démontré la relation symbolique 



D — T CT ' 



d'après laquelle la transformation D^^, se réduit à l'associée et celle de 

 Christoffel. 



On sait que la détermination des surfaces isothermiques les plus géné- 

 rales dépend de l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du 

 quatrième ordre. En introduisant les fonctions 



R = H(r, -r,), R'=H(r, + r,) 



et en me servant des abréviations S(z')=:--, — ^ de M. Darboux et 



^ ■' z apopi 



A:- = -r^ + yr' j ''•' démontré, dans ma thèse de Doctorat ('), que 

 l'équalion 



S 



ou 



(=Alog.-Hl.') = J^(i) 



A4^(z) H p4-^ = 



^ ■' 1 op ap^ 



a, pour toute surface isolhermique, les intégrales 5 = R et z = R' et peut 

 être considérée comme l'équation du problème des surfaces isothermiques. 

 M. Ciilapso, qui l'a retrouvée il y a quelques années, la nomme Véquation 

 fondamentale (-). 



Supposé qu'on ait trouvé une solution z = R de l'équation fondamen- 

 tale, il y a une infinité de surfaces ayant commune la solution z=^W.; je 

 les appelle des surfaces associées à la solution s = R ; par exemple, les sur- 

 faces liées par une transformation de Christoffel sont associées, puisque 



(') R. HoTUE, Untersuchungen iïbcr die Tlieoric dcr isothermen Flàcheii [Inati- 

 gural-Disser talion , Berlin (Mayer et Mijller), 1897]. 



(') P. Calapso, Sulla superficie a linee di curvatura isoterme {Rendiconti de! 

 Circolo maleinatico di Palermo. t. XVII, 1908, p. 275). Voir aussi le Mémoii-e du 

 même auteur Alcane superjicie di Guichard e le relative Irasfonnazioni {Annali di 

 matematica, 3" série, t. XI, igoS, p. 201). 



C. R., igofi, -i- Semestre. (T. CXLIII, N« 16.) 7^ 



