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cette transformation ne fait que changer R en R' et R' en R, comme les for- 

 mules (g) le montrent. De même on reconnaît aisément, au moyen des 

 formules (8), que les sut faces liées par la transformation associée sont 

 aussi associées au sens de la définition précédente. 



La relation, annoncée plus haut, entre les transformations et l'équation 

 fondamentale, s'énonce maintenant par la proposition suivante : 



Etant donnée une surface isothermique, toutes les surfaces associées en pro- 

 viennent par l' application de la transformation associée ou de la transforma- 

 tion de Christoffel. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les solutions uniformes de certaines équa- 

 tions fonctionnelles. Note de M. Fatou, présentée par M. Appell. 



Soit 6 (m) une fraction rationnelle de degré q'^i; posons m, = 0(m), 

 M„= 6(«„^,) et soit a une racine de 



(,) ,,_6(«)^o [|6'(a)|<.]. 



Il existe alors un cercle (] : | m — a | = r, tel que, pour u intérieur à C, 

 on ait : 



\u^ — c/.\<:^k\u — a|, lim«„=a (/{•<^i). 



Si, au contraire, |0'(a)| > i, u„ ne peut pas tendre vers « ('). Mais lors- 

 qu'on fait décrire à u le plan complexe tout entier, la délimitation des 

 domaines de convergence correspondant aux divers points-racines de (i) 

 est généralement difficile. L'étude de certains cas particuliers montre 

 qu'effectivement les frontières sont en général de nature compliquée. 



L Supposons que l'équation (i) ait une seule racine vérifiant la condi- 

 tion I 6'(a) I -^ I, soit a = o. Supposons que C puisse être choisi assez grand 

 pour renfermer à son intérieur tous les points critiques de la fonction 

 algébrique inverse de 6(;<). Supposons en outre (bien que cela ne soit pas 

 indispensable) que ^{u) soit nulle à l'infini. Soit E„ l'ensemble des points u 

 tels que l'on ait 



I "!>'•. I «(!>'■. •••. I ««-)!>'•, \un\ = r, |«„+i|<^, •.., 



E,j^, est contenu dans E„; E„ est l'ensemble des points intérieurs à 



C) Cf. KoENiGS, Sur les équations fonctionnelles {Comptes rendus, décembre i884). 



