SÉANCE DU l5 OCTOBRE 1906. 5/17 



q^ courbes fermées r„ complètement extérieures les unes aux autres : 

 cliJique courbe r„ renferme à son intérieur le même nombre </ de 

 courbes r,,^.,. Si l'inégalité 



|0'(«)|>A>i 



est vérifiée pour les points de r„, à partir d'un certain rang, on sera certain 

 que la longueur de chacune de ces courbes tend vers zéro; l'ensemble E, 

 limite de E„, est alors un ensemhSc parfait , partout discontinu ; ii„ tend vers 

 zéro, sauf quand le point initial appartient à E ('). 



Ce fait se présente i)oiiiO(M) = — , — , — (m "> 2), Pour 



toutes ces fractions 6(m), Ica équations fonctionnelles 



F[9(«)J = F(m)+«, 



F[0(,/)| = 0'(o)F(«) [siO'(o)^o] 



et quelques autres (iipparlenant aux types d'équations étudiées par 

 M. Rœnigs) admettent des solutions régulières pour u = o, uni/ormes dans 

 tout le plan et méromorphes sauf aux points d'un ensemble parfait discontinu. 

 L'équation 



F[0(«)] = cF(«), 



c étant une constante quelconque, aura aussi des solutions uniformes sans 

 coupure, mais avec un point essentiel à l'origine. 



Comme application, considérons l'algorithme suivant; soient a et 6 deux 

 nombres quelconques; posons 



a-+- b , a'-+ b- 



a,= — -— , 6,= 



a -\- b 



l^\ A _ "1 + '^î 

 ' "1 — T' ■ 



L'étude de la convergence des a„, b„ se ramène à celle des «„ liés par la 



h' 



relation : «„+, = — ^- On trouve ainsi que a„ et è„ tendent toujours vers 



une même limite : M (a, b) = M(/', a). 



Si l'on pose : M(r, z) = 9(3), l-t ibnclion ç vérifie les équations fonc- 



(') Il esl clair quL' E renferme les aiUécéi/enis el\ei conscrjne/iis du tous ses poinls; 

 d'ailleurs E contient évidemment tous les ^onili périodiques autres ijue zéro. 



