548 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



tionnelles 



?(-) = ^?(^)' 



■2(i4-^^)-| 



?(-") 



(1 + ;)^ 



Cette fonclion est holomorphe à l'origiae et dans le demi-plan R(2) > o. 

 Elle a comme points singuliers une infinité de pôles simples et les points 

 limites de ces pôles qui forment un ensemble discontinu E; au voisinage 

 des points de E, cp(-) est complètement indéterminée. 



II. Supposons qu'il y ait plusieurs points limites; on aura alors des 

 régions de convergence séparées par des lignes. En général, ces lignes ne 

 seront pas analytiques. 



Il suffit pour s'en assurer de prendre l'exemple simple 0(m) = 



On démontre que m„ tend vers zéro ou vers l'infini dans deux régions sépa- 

 rées par une courbe r, symétrique par rapport à l'axe réel et possédant la 



transformation simplement rationnelle en elle-même : U =: T étant 



supposée avoir une équation de la forme 



u = ?(«) (z/ = a; -t- iy, u ^ x — iy) 



où <p est analytique, la considération des deux équations 



(p[e(«)] = 6[?(«)], 



que «p devrait vérifier, permet de tléiuontrer que l'on aboutit à une contra- 

 diction ('). 



Les équations fonctionnelles considérées plus haut auront, pour ce 

 choix de la fonction 6, des solutions uniformes pour lesquelles r est une 

 coupure. 



Ainsi, des équations fonctionnelles simples conduisent à introduire des 

 transcendantes uniformes possédant des ensembles parfaits discontinus 

 de singularités, ou des coupures non analytiques. On sait d'ailleurs que 

 des faits analogues se présentent déjà dans la théorie des fonctions auto- 

 niorphes. 



(') Les raisonnements employés s'appliquent d'ailleiu-s à des cas plus généraux. 



