SÉANCE DU l6 JUILLET I906. l63 



fournis par les expressions 



) A _ V^ 



«-'il 



Xv.= 



qui satisfont respectivement aux équations 



(>/-» "*" /•= d^-' '^ r dr ~ ^' di(' dt ~ °' 



et qui pour /•= i ou i = o se réduisent à /(<]') d'après (1). Ce sont des 

 solutions, avec l'élément arbitraire cp qui figure dans k\, du problème de 

 Dirichlet dans le cas du cercle (une représentation conforme permet de 

 laisser subsister le résultat dans le cas d'un contour quelconque) et du 

 problème du refroidissement de l'armille. U et V étant au fond indépen- 

 dants de (p, une multiplication par F(cp)</(p, F étant une fonction arbitraire, 

 et une intégration donneraient une infinité de développements pour des 

 solutions forcément uniques. 



Les expressions U et V contiennent celles utilisées par Weierstrass et 

 par M. Picard pour former leurs développements en séries de polynômes. 

 En les prenant sous la forme généralisée donnée ici, on voit que l'intro- 

 duction de la fonction arbitraire F permet d'obtenir une infinité d'autres 

 développements dont les éléments seraient des fonctions continues, 

 résultat conforme à un tliéorème connu (E. Borel, Leçons sur les fondions 

 de variables réelles, p. 65). Voici encore une autre conclusion qui me parait 

 digne d'attention. 



M. Darboux (^Leçons sur la théorie générale des surfaces) et M. Foincaré 

 (^Théorie de la propagation de la chaleur^ p. j63) ont montré que ce n'est 

 pas au nombre de fonctions arbitraires qu'elles contiennent qu'il faut 

 mesurer la généralité des solutions des équations aux dérivées partielles. 

 Or ce qui précède apporte une nouvelle raison à l'appui de cette manière 

 de voir, puisque des solutions, forcément uniques, peuvent contenir des 

 fonctions arbitraires. 



Je me propose maintenant d'indiquer ce que deviennent les séries trigo- 

 nométriques généralisées, hors de l'intervalle a, p dans lequel elles ont été 

 formées. Réunissons les formules (i) en multipliant la seconde pari et 



