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Cahier XLII, 1867), introduire les deux coordonnées isotropes x -\- iy = \, 

 X — iy — ■/]. Désignant pai'/>, q, r, s, t les dérivées de E, par p^, (/, , i\ . s,, / ^ 

 celles de -o, on a immédiatement 



(i) c/l=pdy. -h qdi^, c/y) = /; , r/7. + y , r/[i , idz = \'pp,dx-h s/qq,d(^- 



L'intégrabililé de dz s'exprime par la condition 



(2) 



dont il suffit de tenir compte pour que les formules (i) fournissent la solu- 

 tion la plus générale du problème. 



Soit 2T la valeur commune des rapports (2) ; on peut choisir arbitraire- 

 ment la fonction t. Les identités 



(5) V? = ^ ^'. 



donnent alors, par élimination de q, 



équation à laquelle doit satisfaire aussi /?,. On détermine ensuite q et q, 

 par l'identité (4), que vérifient également y, et^,. 



Tout revient donc à intégrer l'équation (5). Modifiant à peine une déno- 

 mination introduite par Ampère, convenons d'appeler sur/aces de première 

 classe les surfiices telles que les différentielles de leurs coordonnées s'ex- 

 priment explicitement au moyen de fonctions arbitraires de oc et p et de 

 dérivées, en nombre limité, de ces fonctions arbitraires : les surfaces de 

 première classe sont celles pour lesquelles l'intégrale de l'équation (5) 

 s'exprime de cette même manière. 



Or, on sait que, pour les équations du type linéaire auquel appartient 

 l'équation (5), la méthode de M. Darboux se confond avec celle de Laplace : 

 la détermination des surfaces de première classe se ramène donc à la for- 

 mation et à l'intégration de toutes les équations (5) pour lesquelles la suite 

 de Laplace se termine dans les deux sens. 



La solution de ce dernier problème résulte de travaux dus à M. Gour- 

 .sat. Dans un premier Mémoire (^BulL Soc. mathém., t. XXV, 1897, p. 36), 



