SÉANCE DU 22 OCTOBKK 1906. 577 



M. Golirsat démonlre que, si la suite de Laplace relative à l'équation ( >) 

 se termine dans un sens a[)rès n transformations, elle se termine dans" 

 l'autre sens après n — i transformations. Il suffit dès lors de considérer 

 une seule des deux suites d'invariants, dont les premiers termes sont : 



A chaque fonction t vérifiant soit l'équation t = o, soit l'une des équa- 

 tions T„= o(« = I, 2, . . .), correspond pour l'équation (5) une intégrale/; 

 qui s'exprime de la façon voulue. Dans un travail subséquent (^Bidl. Soc. 

 math., t. XXVIII, 1900, p. i), M. Goursat indique le moyen d'intégrer 

 de proche en j)roche les diverses équations t„= o. 



Il est naturel de réparlir les surfaces de première classe en divers genres 

 d'après le rang de l'invariant -, à l'évanouissement duquel elles corres- 

 pondent. Mais on peut aller plus loin. J'ai considéré (^Comptes rendus, 

 26 juin iQoS) comme une équation de Laplace, relativement à cp, l'équation 



(n — 5-) o - 2/759; — 2qs<f'^-h^pq^l^=o 



dont O. Bonnet (loc. cil.) a fait dépendre la détermination des surfaces 

 d'élément linéaire ^f'dxdZ. Celte équation de déformation admet deux 

 séries d'invariants h, /;,, h.,, ...; k, /■_,, k_.,, . . . qui jouissent des propriétés 

 suivantes : 



5i T ^ o, on a h := k := o. Si h ^ o ou si k ^ o, on a r,^ o. Si t, = o, 

 on a soit h^k = o; soit A, = o, si h^o; soit /•_, = o, si k^o; soit 

 h, = k^, = o, si hk ^ o. Si h^=^ o ou si k , ^ o, on a -:,= o. Si To ^ o, o/i a 

 soit h, = k_,=: n; soit /i2=o, si h^^o; soit /: .0 := o, si k^,^o; soit 

 h., = k_., = o, si A, k , ^ o. 



D'après ces théorèmes et leurs analogues relatifs aux invariants de rang 

 plus élevé, les surfaces du genre défini par l'hypothèse t„+| =: o se subdi- 

 visent en trois espèces, suivant que les invariants A„ et ^_„ sont nuls tous 

 les deux, ou qu'un seul est mil ou qu'ils sont tous les deux différents de 

 zéro. 



Cette division en espèces est celle que j'ai suivie dans la recherche systé- 

 matique des surfaces isothermiques de première classe, employant tantôt 

 la condition d'isothermie des lignes de courbure, tantôt V équation fonda- 

 mentale à laquelle satisfait (voir ma Noie précitée) toute coordonnée iso- 

 trope d'une surface isolbermique, considérée comme fonction des para- 

 mètres a et p. 



