SÉANCE DU 2.?. OCTOBRE I()o6. 679 



Les trois fonctions H, r,, /"a, déterminées d'après ces éqii;ilions, consti- 

 tuent la surface (J); il en est de même pour les fonctions II, R, R', qui 

 satisfont aux équations 



(10) J-(R:) = /(jÎj), J'(R') = -i^(H), R=-R'==4Alogir, 



et que j'appelle les fonctions caractéristiques de la surface (J). Pour 

 démontrer le théorème que je viens d'énoncer, il faut déterminer toutes les 

 surfaces isothermiques (j) associées à la surface don-née (J); c'est-à-dire, 

 si H, R, R' sont les fonctions caractéristiques déterminant une surf;ice (j), 

 et que s ^ R soit une solution donnée de l'équation fondamentale, déter- 

 miner toutes les surfaces (j), pour lesquelles soit R = R soit R'= R, Je 

 démontrerai d'abord que, dans le premier cas, les surfaces (J) et (j) 

 sont liées par une transformation associée, c'est-à-dire que les équations (i) 

 jusqu'à (6) et les conditions (7) et (8) sont remplies. 



Si l'on pose HX = H, en introduisant l'inconnue \, on obtient un clé- 

 ment linéaire de la forme (7). On trouve l'équation 



n)=^'a)- 



et cette formule est remplie par deux fonctions nouvelles ç, ç, définies par 

 les équations (1) du système fondamental de M. Darboux et satisfaisant 

 aux équations (2). La condition d'intégrabilité par rapport à X conduit à 

 l'existence d'une fonction c de telle manière que les formules (3) sont 

 aussi vérifiées. Pour établir alors les relations (4), on peut définir une 

 fonction v. d'après les formules (8) qui vérifient la condition supposée R = R, 

 puis appliquer les équations de Codazzi formées par rapport à la sur- 

 face (j). La démonstration des formules (5) et (G) exige un calcul moins 

 simple dont j'omets ici les détails. La relation gaussienne établie pour 

 chacune des surfaces (J), (j) donne d'abord le résultat 



jpAlogA = Ç + (/•,+ ^Ol' 



dont M. RalTy fait souvent usage dans ses Recherches sur les surfaces isolher- 



