58o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



miques ('). Au moyen des équations (i) et (2) on en déduit 



p.^ + ^-+ ç;= - >;y.(/', +/•,) + jpAX; 



par conséquent, il existe une fonction j^ de telle manière qu'en même temps 

 on a 



En dérivant on est conduit à la condition 



(Jp c^p, c)pi cJp ' 



d'où l'on conclut / ^ x.('^)> ^t l'on obtient les équations 



Les conditions d'inlégrabilité auxquelles sont soumises les fonctions ^, E, 

 donnent le résultat y"(^c')-=^ o ou 



où m et ^0 désignent des constantes arbitraires dont on peut annuler »î„, 

 puisque la fonction c n'est définie qu'à une constante près. Aussi les for- 

 mules (5) et (6) du système fondamental de M. Darboux et, par consé- 

 quent, toutes les conditions sont-elles remplies auxquelles la transforma- 

 tion associée est soumise. 



Il reste le second cas R'= R. Mais, en appliquant la transformation de 

 Christoffel à la surface (j), on voit aisément que ce cas peut être réduit 

 immédiatement au premier. 



Si l'on supposait que s ^ R' soit la solution donnée de l'équation fonda- 

 mentale, on aurait les cas R = R' ou R' = R', qui demandent une recherche 

 tout à fait conforme à la précédente. Les surfaces associées à une solution 

 donnée de l'équation fondamentale sont ainsi liées nécessairement par 

 une transformation associée ou de Christoffel. 



(') L. IIaffï, Annules de l'Ecole Normale, S' série, t. XXII, igoj, p. 897. 



