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nécessaires et suffisantes pour qu'un pareil système soit complètement 

 intégrable ('). A cette règle on en peut substituer une autre, qui présente 

 le double avantage d'être, dans bien des cas, notablement plus simple et 

 de s'appliquer à des systèmes dilïérentiels notablement plus généraux. 



Considérons d'abord un système différentiel résolu par rapport à cer- 

 taines dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et tel 

 qu'aucun des premiers membres n'y soit une dérivée de quelque autre ; 

 attribuons ensuite aux diverses variables indépendantes des cotes respec- 

 tives toutes égales à i, et aux fonctions inconnues des cotes respectives 

 quelconques (positives, nulles ou négatives) : cela étant, l'application d'un 

 procédé tout élémentaire permet de donner aux conditions initiales du 

 système une forme telle que diverses circonstances (un peu longues à 

 énumérer, et difficiles, par là même, à indiquer ici) se trouvent réalisées. 

 Nous conviendrons, en pareil cas, d'adbpter, pour les conditions initiales, 

 l'écriture à laquelle il vient d'être fait allusion et nous désignerons alors 

 par S la cote minima des premiers membres du système proposé, par T la 

 cote maxima des premiers membres des conditions initiales ; enfin, adjoi- 

 gnant par la pensée aux équations du système toutes celles qui s'en dédui- 

 sent par de simples différentiations d'ordres quelconques, nous partagerons 

 l'ensemble illimité résultant de cette adjonction en groupes limités succes- 

 sifs d'après les cotes croissantes S, S-|-i,S-|-2,... des premiers membres, 

 et nous nommerons S^, Sa+i, 85^.2, ... les groupes dont il s'agit. 



Cela posé, nous formulerons la proposition suivante : 



Considérons un système différentiel satisfaisant à la double condition 

 ci-après : 1° Le système est résolu par rapport à certaines dérivées des fonctions 

 inconnues qui s'y trouvent engagées, aucun des premiers membres nest une 

 dérivée de quelque autre, et les seconds membres sont indépendants de toute 

 dérivée principale ; 2° En attribuant, dans toutes les équations du système, 

 aux variables indépendantes des cotes respectives toutes égales à i, et aux 

 fonctions inconnues des cotes respectives convenablement choisies (positives, 

 nulles ou négatives), chaque second membre ne contient, outre les variables 



(') Sur une question fondamentale du Calcul intégral {Acta mathematica, 

 t. XXIII). Je dois ajouter que la définition des systèmes orthonomes est susceptible 

 d'une légère simplification consistant en ce que l'on peut, sans en restreindre la géné- 

 ralité, supposer égale à i la cote première (positive) cow/«((«e à toutes les variables 

 indépendantes. J'ai déjà eu l'occasion de présenter cette remarque dans un Mémoire 

 plus récent ayant pour titre : Sur le degré de généralité d'un système différentiel 

 quelconque {Acta mathematica, t. XX'i^). 



