SÉANCE DU 22 OCTOBRE 1906. 583 



indépendantes, que des quanlilés {inconnues el dérivées^ dont la cote ne sur- 

 passe pas celle du premier membre correspondant. 



Cela étant, el dans les limites où certaines restrictions d'inégalité (concernant 

 les valeurs des variables indépendantes, des inconnues el de quelques-unes de 

 leurs dérivées paramétriques) se trouvent satisfaites, il faut et il suffît, pour 

 que le système soit complètement intdgrable, quen éliminant entre les groupes 

 Ss. S8^., , . . ., Sr+i , ^v+i If^s diverses dérivées principales qui ont pour cote l'un 

 ou l'autre des entiers (algébriques) S, S -(-i, ..., Y -\- i,Y -\- 1, les relations 

 résultantes soient vérifiées identiquement {c'est-à-dire pour toutes valeurs numé- 

 riques des variables, des inconnues et de leurs dérivées paramétriques). 



Dans le cas où les diverses ilérivées qui constituent les premiers membres 

 du système proposé a|)partiennent à des inconnues toutes différentes, il n'y 

 a pas de conditions d'inlégrabilité et, dans celui oiJ le système proposé est 

 orlhonome, aucune restriction d'inégalité n'est à formuler. 



Voici un exemple bien simple où la règle formulée ci-dessus présente un 

 notable avantage sur la règle ancienne, tirée de la considération des déri- 

 vées cardinales. Supposons qu'un système, impliquant une fonction 

 inconnue u des variables indépendantes x, y, ..., ait pour premiers 

 membres toutes les dérivées d'ordre m de u, les seconds membres ne con- 

 tenant, avec les variables ce, y, ..., que l'inconnue u et ses dérivées d'ordre 

 inférieur à m : pour ce système, évidemment orthonome, la nouvelle règle 

 conduit à ne considérer que des dérivées d'ordre m -+- 1 ; l'ancienne, au 

 contraire, si l'on observe que les dérivées cardinales ont pour ordre 

 maximum a.m, exigerait un calcul beaucoup plus long, et, parmi les con- 

 ditions obtenues, un grand nombre se trouveraient n'être que de simples 

 conséquences des autres. 



PHYSIQUE. — Sur la liquéfaction de l'air par détente avec travail extérieur. 

 Note de M. Georges Claude, présentée par M. d'Arsonval. 



Dans de précédentes Notes, j'ai indiqué des moyens d'améliorer le ren- 

 dement de la liquéfaction de l'air par détente avec travail extérieur. Ces 

 moyens ont pour but essentiel de relever la température à laquelle 

 s'efTectue la délente el consistent soit dans l'artifice de la liquéfaction sous 

 pression ('), soit dans la combinaison delà liquéfaction sous pression avec 



(') Comptes rendus, i3 novembre igoS. 



