SÉANCE DU 2,3 JUILLET 1906. 2o5 



Donc chaque forme d'ordre /( des vecleurs e<, (unités sur les axes des coordonnées) 

 représente un uuiltipède r". Mais par Pidentilé i;ev<'v=o elle se réduit à 



où Fji est une forme d'ordre \). en e,, e.,. Cette forme F possède in -v-\ coefficients, les 

 coordonnées de c". 



.'J. Ija composition (Ueberschiebiing) a.'""^ des formes réalisantes de 

 deux multipèdes v" el v'" est réalisante; elle définit un mullipède r""^'" " qui 

 sera nommé produit a.""" des multipèdes v" et t'" et qui sera désigné par ("^c"'. 



l'osons i'"„i'"'ir: i« (•'" el le prodnil scalaire des n-pèdes 11" et c" : ii"„v''^=^ «"•(•". 

 Pour deux, vecteurs u, c on a les produits iiv, «je, ii-v qui sont respectivement le 

 bipède contenant les vecteurs 11 el c, le produit vectoriel et deux fois le produit 

 scalaire ordinaire de // el v. 



4. On sait que chaque transformation du groupe G (|tii contient les rota- 

 tions R autour de O et les homothéties avec le centre O peut être représentée 

 par une transformation linéaire des variables binaires E, ■/). Les compo- 

 sitions de deux formes étant des invariants binaires simultanés des formes, 

 les produits de deux multipèdes sont G-invariants simultanés de ces mul- 

 tipèdes. 



Il suit il'un lliéurème fondameiiliil de M. Gordan que chaque mullipède M qui 

 est G-invariant, rationnel et entier dans les coordonnées (voir n" 2) des multipèdes i>", 

 r'", . . . peut être trouvé seulement à l'aide de formations des produits définis ci-dessus. 

 Un mullipède iM quelconque est exprimable par les multipèdes en nombre fini du 

 système conip/et des multipèdes c", c'", .... Le svstème complet de plusieurs vecteurs 

 se compose par exemple d'eux-mêmes, de leurs produits scalaires, vectoriels el triples 

 de la forme u^ l'-ir (cf. //. Burkhardt pour les M qui sont des vecteurs). Le système 

 complet d'un bipède b =^ a- contient : //, le bipède /; =: \h:, b, le Iripède t = />; /( et les 

 apèdes g,^=\b-b, g^z=\(>-li. 



5. T/équation 1^'" = ^ «'■;('", où les a-'sont des multipèdes donnés, définit 



les transformations I, linéaires de t" en r". 



Cha(|ue défornialion I) injiiiiminl petite par exemple peut être écrite : 



1''=: n-:, \' + a-^v -T- { «"c, 



où «„=:() signifie la dilatation cubique, le vecteurs détermine la rotation à O et le 

 bipède a- dclerinine jiislenteiU le cluiiigenieiit de figure dû aux glissements de D. 



6. Chaijue scalaire S"*, linéaire dans v vecteurs Vx, [)eutêtre trouvé par 



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