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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de séries entières. Note 

 de M. Michel Petrovitch, présentée par M. Emile Picard. 



Il existe une infinité de séries 



(l) fl-o + Ol - + «!.-''-*- ••• 



à coefficients réels positifs et tels que l'équation algébrique en z, obtenue 

 en égalant à zéro la somme de k premiers termes de (i), ait toutes ses ra- 

 cines réelles, quel que soit k. Certaines propositions de Laguerre iar les 

 équations algébriques (') permettent même, quand on connaît une quel- 

 conque des telles séries, d'en déduire une infinité. 



Appelons, pour abréger, série il{z) toute série (i) satisfaisant aux condi- 

 tions précédentes; nous en indiquerons ici quelques particularités. 



En désignant par '(,,,'C,2, ..., 'C„ les valeurs absolues des inverses des ra- 

 cines de l'équation algébrique 



on aura 



Les quantités X,^ étant toutes réelles et positives, la proposition classique 

 sur la moyenne géométrique conduit à l'inégalité 



a„ ~ n a„ 



d'où l'on conclut que le coefficient a„ de toute série i2(=) est au plus égal à 



Par suite, toute série ïl{z-) représente une fonction entière de z du genre 

 zéro ou un. 



L'inégalité précédente fait aussi voir que pour toute valeur réelle ou ima- 



(') OEmras, t. I, p. 33-36, 199-206. 



