SÉANCE DU 23 JUILLET 1906. 209 



ginaire de z le module de i.l{z) est inférieur à 



où r =\z\ el où G{z) représente la transcendante entière 



se 



V' z"- 



G( = ) =^ (h + ,)«+'■ 

 



L'expression de G(-) sous la forme 



"0 



conduit alors à de nombreux résultats dont voici quelques-uns, les plus 

 immédiats. 



On a d'abord l'inégalité 



G('/-)<e". 

 ce qui montre que Veapression 



a„ + a.re' 



"il- 



fournit aussi une limite supérieure du module de ^(^z). 



D'après une proposition connue (') les coefficients d'une série ^a„z" à 



coefficients positifs représentant une fonction entière du genre zéro ou tin 

 sont inférieurs aux coefficients correspondants de la série 



"1- 

 a^e " . 



Nous remarquerons que les limites supérieures de a„ et du module 

 de i^i(z), que nous venons de trouver, sont inférieiu'es à celles fournies par 

 cette dernière proposition et, par suite, plus précises que celles-ci. 



La fonction ii(z) croît indéfiniment poia- les valeurs positives de s indé- 

 finiment croissantes. Or, l'application de la formule classique' de Laplace 

 relative aux valeurs des intégrales de la forme 



/ u(l)[r(t)]"dt. 



(') HoREL, Leçons sur les fonctions entières, p. 34-36. 



