SÉANCE UU 29 OCTOBRE 1906. 633 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur la déformation des quadriques. 

 Note de M. Lcigi Bianchi. 



1. Dans une première Note, que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Acadé- 

 mie ('), j'ai fait connaître les propositions fondamentales qui m'ont servi à 

 construire une théorie des transformations des surfaces appUcables sur 

 les quadriques générales. Je me permets d'y ajouter aujourd'hui quelques 

 propositions nouvelles, qui font mieux ressortir la nature géométrique de 

 ces transformations, en les rapprochant encore plus des transformations 

 de Bâcklund pour les surfaces à courbure constante, auxquelles elles se 

 réduisent lorsque la quadrique devient une sphère (imaginaire ou réelle). 



On se rappelle qu'une de ces transformations sim[)les, indiquées |)ar B^ 

 dans ma première Note, fait dériver de toute surface S, applicable sur une 

 quadrique Q quelconque, une simple infinité de snrfaces S, déformées de 

 la même quadrique. Chaque nouvelle surface S, et la surface primitive S 

 sont alors les deux nappes de la surface focale d'une congruence recti- 

 ligne W. et nous avons en premier lieu le théorème : Au système conjugué 

 commun à la surface S et à la quadrique applicable Q correspond, sur la 

 deuxième nappe S,, le système homologue, commun « S,, Q. Ajoutons que ce 

 système est isotherme conjugué, comme M. Darboux l'a reconnu le premier. 



Une c[uestion fondamentale à résoudre est maintenant la suivante : quel 

 est le lieu des co' points M, des surfaces transformées S,, correspondant 

 au même point M de S ? C'est évidemment une courbe tracée dans le |)lau 

 tangent en M à la surface S, et nous trouvons : Le lieu cherché est une co- 

 nique C dont la forme et la position, dans le plan tangent de S, restent inva- 

 riablement liées à la surface S dans toutes ses déformations. 



2. D'après ce résultat fondamental, la recherche des surfaces trans- 

 formées S, d'une surface donnée S (applicable sur la quatlrique Q) se 

 décompose d'elle-même en deux problèmes successifs, dont le premier se 

 rapporte à fixer (une fois pour toutes) les ic^ coniques C dans les plans 

 tangents de S, tandis que le second aura pour objet de fixer sur chaque co- 

 nique C, déjà connue, le point M, correspondant de l'une des surfaces 

 transformées S,. Or le premier problème trouve sa solution complète dans 

 la simple proposition suivante : Sil'on applique la surface S sur la qua- 



(') Noir Comptes rendus, l. GXLU, séance thi j mars 1906. 



