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drique Q, les oo^ coniques C deviennent les sections produites par les plans tan- 

 gents de Q dans une quadrique homofocale Q' (^arbitraires. 



Il est bon d'observer que la valeur de la constante c, attachée à la trans- 

 formation B„ dépend du choix de la quadrique Q' dans le système homo- 

 focal. En particulier, on peut réduire la qiiadricjue Q'à un des plans princi- 

 paux de Q, et alors les coniques G se réduisent aux droites d'intersection 

 de ce plan de symétrie avec les plans tangents de Q : c'est le cas le plus 

 simple de nos transformations. 



On observera encore que, si la quadrique Q devient une sphère, les qua- 

 driquesQ' sont les sphères concentriques et les coniques C sont les cercles 

 de rayon constant qui interviennent dans la transformation de Bâcklund 

 des surfaces à courbure constante. 



3. Quant au deuxième problème, il faut avant tout remarquer que les 

 coniques C sont bien invariablement liées, ainsi que nous l'avons dit, aux 

 déformations de la surface S, mais les points M, de leur rencontre avec les 

 surfaces transformées S, changent au contraire de position sur les co- 

 niques C à chaque déformation de la surface S. (Il y a un seul cas d'excep- 

 tion : celui de la transformation complémentaire des surfaces de courbure 

 constante.) Maintenant la propriété géométrique fondamentale pour la 

 résolution de notre problème est donnée par le théorème suivant : Les 

 Qo' surfaces transformées S, divisent homo graphiquement toutes les coniques C. 



C'est à cause de cela que, si l'on introduit comme inconnue la valeur du 

 paramètre t, dont les coordonnées du point M,, mobile sur la conique C, 

 sont des fonctions rationnelles (du second degré), on a pour déterminer t 

 une équation (aux différentielles totales) du type de Riccati. 



4. J'ai étudié en particulier les surfaces gauches applicables sur les qua- 

 driques, en m'aidant d'un beau théorème, dû à M. O. Chieffi, qui s'ap- 

 plique en général à toute surface déformée d'une surface gauche (' ), Con- 

 sidérons une de nos convergences W, dont les deux nappes focales S, S, 

 sont applicables sur une même quadrique Q, et prenons un couple quel- 

 conque {a,a^) de lignes asymptotiques correspondantes sur S, S,. Par 

 les points de l'asymptotique a menons les droites r tangentes aux lignes 

 géodésiques de S, qui correspondent, dans l'applicabilité, aux droites de 

 l'un ou bien de l'autre système de la quadrique Q; ces droites /• forment 

 une surface gauche R qui, d'après le théorème de M. Chieffi, sera aussi ap- 



(') Sulle deformate delV iperboloïde lotondo ad una falda {Giornale di Male- 

 matiche di Ballaglini^ t. XLIII, igoS, n" 1). 



