SÉANCE DU 29 OCTOBRE 1906, ()35 



plicable sur la quadriqiie Q. La même construction, effectuée par rapport 

 à la seconde nappe S, et à l'asymptotique a,, donne une seconde surface 

 gauche R, applicable sur Q; nous avons alors ce théorème : 



Les surfaces gauches R, R, {applicables sur la quadrique Q) sont à leur tour 

 les deux nappes focales d'une congruence rectiligne W. 



Cette proposition s'applique encore dans le cas où les surfaces primi- 

 tives S, S, sont elles-mêmes gauches; il suffit fl'effectuer notre construction 

 par rapport à celles des droites dé Q qui ont perdu sur S, S, leur forme 

 rectiligne. Il est visible que notre proposition permet de déduire, d'une de 

 nos congruences W connue, un nombre illimité de telles congruences, 

 avec les deux nappes focales réglées et applicables sur la même qua- 

 drique. 



5. Ces derniers résultats nous amènent au problème général proposé 

 aussi par M. E.-J. Wilczinski dans son livre récent ('), qui demande de 

 construire toutes les congruences rectilignes W, dont les deux nappes 

 focales sont réglées. La proposition suivante en donne la solution com- 

 plète : Une surface gauche R arbitraire étant donnée, considérons une quel- 

 conque de ses déformations infiniment petites, qui la conservent réglée et me- 

 nons par les points de R, dans les plans tangents, les droites normales à la 

 direction du déplacement que la déformation considérée imprime au point de 

 contact. La congruence de droites ainsi obtenue sera la congruence VV la 

 plus générale, dont la première nappe est la surface réglée R, et la seconde 

 nappe une autre surface réglée R, . 



Toutes ces congruences W, qui ont la première nappe R de la focale en 

 commun, dépendent d'une fonction arbitraire d'une variable. Peut-on dis- 

 poser de cette fonction arbitraire, de telle manière que la seconde nappe R, 

 devienne applicable sur la première R? Cela a lieu, en effet, pourles défor- 

 mées gauches des quadriques et la même propriété subsiste encore, par 

 exemple, dans le cas des déformées réglées du caténoïde, c'est-à-dire pour 

 les surfaces lieux des binormales aux courbes de torsion constante. Toutes 

 les fois que, pour une classe de surfaces gauches applicables, une telle 

 circonstance se présentera, on pourra construire pour toutes leurs défor- 

 mées une théorie des transformations analogue à celle dont nous avons 

 parlé pour le cas des quadriques. 



(') Projectile differential geometry of cannes and ruled surfaces. Leipzig, 

 Teubner, 1906. Voir p. 190. Ex. 0*. 



