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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les Iransfor/natinns de quelques équations 

 linéaires aux dérivées partielles du second ordre. Note de M. J. Clairiv, 

 présentée par M. Appell. 



Pour connaître toutes les équations aux dérivées partielles du second 

 ordre à deux variables indépendantes qu'une transformation de Biicklund 

 permet de remplacer par une équation linéaire, sans que les variables indé- 

 pendantes soient modifiées, il reste seulement à considérer les transfor- 

 mations de troisième espèce. Je me propose d'indiquer dans cette Note 

 quelques-unes des équations satisfaisant à cette condition : il serait, 

 semble-t-il, beaucoup plus difficile de les obtenir toutes que de résoudre 

 le même problème dans le cas des transformations (B,) et (B^). 



On peut toujours écrire une équation linéaire avec les notations habi- 

 tuelles 



( I ) s -{- a{x,y')p -h h ( X, y ) s = o. 



Une telle équation admet toutes les transformations ponctuelles infini- 

 tésimales dont la fonction caractéristique est \z -^^(^x,y), 1 désignant 

 une constante arbitraire et '\i(x, y) une intégrale quelconque de (i); 

 d'ailleurs, si 1 est différent de zéro, un simple changement de fonction 

 inconnue permet toujours de remplacer cette fonction caractéristique 

 pars. J'ai cherché toutes les transformations (B3), applicables à l'équa- 

 tion (i), telles qu'à toute intégrale de l'équation transformée corres- 

 pondent Qo' intégrales de (i) déduites de l'une d'entre elles à l'aide des 

 transformations ponctuelles du groupe engendré par une des transforma- 

 tions infinitésimales qui viennent d'être considérées. 



Si 1 est nul, les seules équations que l'on obtienne ainsi sont celles que 

 j'ai indiquées dans un Mémoire des Anna/es de la Faculté de Toulouse (') et 

 qu'une transformation (B^) permet de déduire d'équations linéaires. 



Si 1 n'est pas nul, on trouve d'abord certaines équations, étudiées par 

 M. Goursat (-), auxquelles s'applique la méthode d'intégration de M. Dar- 

 boux. Parmi les transformations qui satisfont aux conditions expliquées 



(' ) 2" série, l. V, igoS. 



(2) Annales de la Faculté de Toulouse, a*-' série, t. I, 1899. Les équations dont il 

 s'agit ici portent les numéros (II), (IV), (V) dans le Mémoire de M. Goursat. 



