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ACADEMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les ensembles de fonctions. Noie 

 de M. Frédéric Riesz, présentée par M. Emile Picard. 



1. La plupart des méthodes fécondes de la théorie des ensembles de 

 points ne peuvent être appliquées dans la théorie des enseiTibles de fonc- 

 tions. Cependant, en se bornant à des fonctions continues et à conver- 

 gence uniforme, deux analogies se présentent. D'abord, l'ensemble des 

 fonctions continues définies sur le même ensemble parfait contient un 

 ensemble dénombrable partout dense, par exemple l'ensemble des poly- 

 nômes à coefficients rationnels. D'autre part, on peut faire correspondre à 

 tout couple (le fonctions y,, y^ un nombre (/t,/.,)Zo, le maximum de 

 |_/", "/al. que nous appellerons l'écart des deux fonctions et qui jouira 

 des deux propriétés suivantes : a. Vécarl (ff,/..) n'est nul que si y, ci /., 

 sont identiques; b. si/,, f.,, /., sont trois fonctions quelconques, on a 



toujours {f,,f.^'^{fuf,) + (./^./a). 



Dans sa Thèse (Paris, 1906), M. Fréchet montre comment une méthode 

 bien connue de la théorie des ensembles de points peut être généralisée 

 pour tous les ensembles présentant avec les ensembles de points les deux 

 analogies ci-dessus, en particulier pour l'ensemble des fonctions continues 

 définies sur le même ensemble parfait. Cette méthode consiste à définir 



