SÉANCE DU 12 NOVEMBRE 1906. ^89 



un ensemble dénombrable de domaines de fonctions de telle façon que la 

 condition nécessaire et suffisante pour que la fonction/ soit fonction limite 

 de l'ensemble £ de fonctions soit que chacun de ces domaines qui contient 

 la fonction /"contienne au moins une fonction de t différente de /. 



I/application la plus intéressante de cette métho le est, je crois, le 

 théorème que chaque ensemble isolé de fondions continues est Jîni ou dè- 

 nomhrable. Le théorème reste a fortiori wai, si l'on admet la convergence 

 la plus générale. 



2. Envisageons l'ensemble de fonctions continues définies sur un en- 

 semble parfait. On dit que les fonctions/,, /., de l'ensemble sont ortho- 

 gonales si l'intégrale définie de leur produit pris sur l'ensemble parfait est 

 nulle. Un système orthogonal, c'est-à-dire un système de fonctions ortho- 

 gonales deux à deux, est dit complet, s'il n'y a pas de fonction continue 

 orthogonale par rapport à toutes les fonctions du système. 



L'année dernière, dans une séance de la Société mathématique, à 

 Gottingen, M. E. Schmidt a énoncé le théorème suivant : Tout système 

 orthogonal complet est dénombrable. 



Etant donné un système fini de fonctions continues, on construit aisé- 

 ment une fonction continue, orthogonale par rapport à toutes les fonctions 

 du système. Alors un système orthogonal complet ne peut être fini. 

 Ainsi, pourdémontrer le théorèmede M. Schmidt, il suffît de prouver qu'un 

 système orthogonal est fini on dénombrable. Or, des propriétés définissant 

 la notion de système orthogonal on déduit que chaque système tel constitue 

 un ensemble isolé. Le théorème de M. Schmidt est donc une application 

 du théorème sur les ensembles isolés. La démonstration donnée j)ar 

 M. Schmidt, mais qu'il n'a pas publiée, repose, comme il vient de me 

 l'apprendre, sur des fondements tout à fait différents. 



3. En admettant une notion plus générale de fonction que celle de fonc- 

 tion continue, est-ce que la méthode de M. Fréchet cesse d'être valable? 

 Vraiment, si par exemple pour l'ensemble des fonctions de classes o et i 

 on introduit la notion de l'écart définie comme pour les fonctions continues, 

 la notion de l'écart ne peut plus être utilisée. 



Est-ce qu'on doit chercher de nouvelles méthodes? Est-ce que le théo- 

 rème sur les ensembles isolés n'a pas son analogue pour une classe plus 

 générale de fonctions? Le concept de système orthogonal peut être défini 

 pour la classe de toutes les fonctions bornées et inlégrables sur le même 

 ensemble parfait; soit qu'on admette la notion de l'intégrabililé donnée 



