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par Riemann ou celle de M. Lebesgue, le ihéorèmc Je M. Schmidt peul-il 

 être généralisé? 



Pour le théorème de M. Schmidt, on voit tout de suite une restriction 

 à faire sans laquelle la généralisation serait impossible. En admettant la 

 définition de l'intégrale de M. Lebesgue, il y a des fonctions de l'intégrale 

 nulle (c'est-à-dire des fonctions dont la valeur absolue intégrée sur l'en- 

 semble est nulle) sur chaque ensemble mesurable; alors il n'y aurait pas 

 de système orthogonal complet. On voit que, si l'on veut espérer obtenir 

 quelque résultat, il faut supprimer les fonctions de l'iulégrale nulle; il 

 faut les regarder comme équivalentes à la fonction identiquement nulle. 



En fait, si l'on regarde comme identiques deux fonctions dont la difFé- 

 rence est une fonction de l'intégrale nulle, on peut définir pour les fonc- 

 tions intégrables une notion de distance, généralisation de la même notion 

 pour les ensembles de points et qui jouira des propriétés analogues à celles 

 de l'écart. On appellera dislance û?(/, ,/.) des fonctions/, et/, la valeur 



absolue de \/j'(/, — Ji)\ l'intégrale étant prise sur toutl'ensemble parfait. 

 On n'aura d{/,, /.,) =z o que si la différence/, — /, est une fonction de 

 l'intégrale nulle; et comme on le prouve aisément, poiu' trois fonctions 

 quelconques/, /, /, on a d(/,,/„) = d{f^,f^) + d{f.„f^). 



Je me bornerai à l'ensemble des fonctions bornées et intégrables au sens 

 de M. Lebesgue, définies sur l'intervalle o...27r. Les raisonnements se 

 généraliseront sans difficulté. Je dirai que la fonction /est fonction limite 

 de l'ensemble E de fonctions, si la limite inférieure de ses distances par 

 rapport à l'ensemble E est o. Les fonctions dont la différence est une fonc- 

 tion de l'intégrale nulle seront en même temps fonctions limites ou non 

 par rapport au même ensemble. En les regardant comme identiques, la 

 définition donnée de la fonction limite permettra de faire usage de la 

 méthode de M. Fréchet. En fait, les séries trigonométriques finies de coef- 

 ficients rationnels forment un ensemble dénombrable partout dense, à 

 l'aide duquel on définira un ensemble dénombrable de domaines de fonc- 

 tions ayant, par rapport au nouveau principe de condensation, les mêmes 

 propriétés que celles dont se sert M. Fréchet. Or, en appliquant le mé- 

 thode de M. Fréchet, on sera en outre conduit au résultat : Un ensemble 

 de fonctions bornées et intégrables ne contenant pas deux fonctions qui ne 

 diffèrent que pour un ensemble de mesure nulle et ne contenant aucune fonc- 

 tion liniite, est fini ou dénombrable. 



4. Pour généraliser le théorème de M. Schmidt, on réservera la défini- 



