SÉANCE DU la NOVEMBRE 1906. ^/jl 



tion de i'orlhogoiialité; on fera la restriction qu'un système orthogonal ne 

 contienne aucune fonction de l'intégrale nulle. On définira le système 

 orthogonal complet, comme un système tel qu'il n'y a pas de fonction 

 autre que les fonctions de l'intégrale nulle, orthogonale par rapport à 

 toutes les fonctions du système. Après ces restrictions, le théorème restera 

 valable pour notre classe étendue de fonctions. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différenlielles du second ordre 

 el du premier degré dont l'intégrale générale est à points critiques fixes . 

 Note de M. Gambier, présentée par M. Painlevé. 



Dans une Note précédente (18 juin 1906) j'ai annoncé que je procédais 



à une revision minutieuse des Tableaux dressés par M. Painlevé pour les 



équations j"=R(j', j, x), où R est rationnel en j' et y et analytique 



I 11 . r ^- A^ I{x)y -h ni{.r) 

 en X. Je rappelle ciue, par une transformation Y = — — ; -, — r» ces 



équations peuvent élre ramenées à la forme 



Y" = A(Y, X)Y'^ + B(Y, X)Y' + C(Y, X) 



où A est l'une des huit expressions qu'indique M. Painlevé dans son Mé- 

 moire (^Acta malhematica, 1902, p. 3o). 



Les Tableaux de M. Painlevé relatifs au cas A = o et au cas A = ^ sont 



complets; mais dans l'application de sa méthode, M. Painlevé avait laissé 



échapper certaines équations du cas A= (i ) \'^ j '" éuuméré ces 



équations dans deux Notes des Comptes rendus (18 et 25 juin 1906). 



Comme les résultats de la discussion de ce troisième cas jouent un rôle 

 essentiel dans la discussion des cinq cas suivants, cette omission en 

 entraine d'autres dans ces cinq cas. Je vais les énumérer ici pour 



A = 4: - + ^r-^— et A = - ( ^ 4- ^ h 



Cas où 



2Y ' Y — I iXY ' Y — i Y — Il 



A(Y, X) = ^ + , _ • — Une transformation préalable Y = y, 



a? = >,(X) ou Y = — , a; = >v(X), où 1 est une fonction algébrique des coef- 

 ficients de l'équation proposée, permet de ramener cette équation à l'un 



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