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Par tout élément double (.To, y„; a-„, y„, j^) de la transformation passe 

 une courbe invariante j' = ({/(a;), la fonction '!^(cc) étant définie dans le 

 domaine de a\ : l'existence de •\'(x) a été établie sous les hypothèses d^o, 

 I S I <^ I , C et S désignant les quantités suivantes : 





S = 



[/<P]o 



L'ensemble des éléments doubles constitue, en général, une multiplicité 

 à un paramètre. 



On peut se proposer d'étudier les courbes invariantes par la transfor- 

 mation et ne contenant pas d'élément double. Mais il est nécessaire de 

 préciser le problème, car l'ensemble formé par un arc de courbe arbitraire 

 et ses conséquents en nombre infini constitue une courbe invariante. Le cas 

 le plus simple, après celui de l'élément double, nous est suggéré par le 

 problème analogue dans l'itération des transformations ponctuelles : c'est 

 le cas des courbes se reproduisant périodiquement. Nous allons déterminer 

 un cycle de p Jonctions iJ;o(a;), i, (a:), . . ., ^'/j-i (^) définies dans p domaines 



distincts or 



p-\ 



hp^\ , 0Cj,_, -+- hj^, et se permutant circulaire ment par la trans- 



Jormaiion donnée : l'ensemble des p arcs ainsi définis constituera une courbe 

 invariante par la transformation. 



2. Il est nécessaire d'étendre d'abord aux transfr)rmations 



(X, Y;.r,j,/,j", ...,jW) 

 les résultats rappelés au début. La notion d'élément double 



(x„,y,;x\,y„,Y', }'T) 



s'étend immédiatement à ces transformations : les éléments doubles 

 forment, en général, une multiplicité à p paramètres. On peut démontrer 

 que par un élément double passe une courbe invariante par la transformation 

 et définie dans le domaine de x^ sous les hypothèses C^, :^ o e/ | S^ | <[ i , Cl,, et S^ 

 désignant les quantités suivantes : 







fdX dX , 

 \d.r ôy "^ 



i d\ dX , 



-7- -f- ^- y ■ 





,;,•(/'-')■ 



AP. 



). 



àX 



dy'P'Jo 



