SÉANCE DU 19 NOVEMBRE I()oH. ^67 



S^, est un invariarU de la transformation pour le groupe ponetuel (|)ro|)riélé 

 établie pour S et qui subsiste). Ici encore, comme pour les transfor- 

 mations (X, Y; X. Y. y'), il resterait à traiter le cas | S^| > r. 



3. Soit T, une transformation (X, Y; x, y, y') : en écartant le cas où 

 c'est une transformation de contacl, elle donne par p — i itérations suc- 

 cessives une tr.insformation T^ de la forme (X, Y; x, y, y', .. .,y'P>y Soit 

 ç un diviseur quelconque dep : parmi les éléments doubles de T^, il v a les 

 éléments doubles de T^ (prolongés jusqu'à l'ordre p), mais T^ admet aussi 

 d'autres éléments doubles n'a[)partenant pas à Tp{p' <:^ p). Soit E^ un de 



ces derniers éléments de coordonnées (xg, y^, y'^ y'f) : d'après le 



paragraphe 2, on pourra, sous les hypothèses C^i^o et |Sp|<^ i, définir 

 dans le domaine de x^ une courbe y= ^/(.r) invariante par T^ et conte- 

 nant Ep. Si l'on ap[)lique (p — i) fois successivement la transformation T, 

 à cette courbe C„, on obtient dos courbes C, , Cj, • . . , Cp_, et la courbe C^ 

 coïncide avec C^. On a ainsi établi le résultat énoncé plus haut (§ 1). Il y a, 

 en général, une infinité de pareils cycles Co, C,, ..., Cp_, dépendant de 

 p paramètres arbitraires et cela quel que soil l'entier/». 



4. Au sujet des éléments E^ qui vérifient les inégalités C^^:^ o et | S^| <^ i, 

 on peut faire la remarque suivante : 



Soit (.î„, r„, v'^,) lin élément double de T, : si on le prolonge jusqu'à 

 l'ordre/?, on obtient un élément double E' de T^ et l'on peut démontrer 

 que l'on a, pour cet élément, S^= S^". Il en résulte que, si l'on avait 

 C:^o|S[<[i, on aura aussi (1^^ o | S^ | <^ i, non seulement pour l'élé- 

 ment E' , mais aussi pour tout éléiiieiit ilouble E^, ayant des coordonnées 

 suffisamment voisines de celles de Ep. Ainsi, dans le voisinage de toute 

 courbe invariante par T, obtenue par rap|)lication du résultat énoncé au 

 début, on est sûr qu'il existe une infinité de courbes invariantes par T„ 

 qui fourniront une infinité de cycles de^ arcs invariants par T, . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — ^ur une famille de surfaces hyper- 

 elliptiques du quatrième ordre. Note de M. L. Remy, présentée 

 par M. G. Humbert. 



Considérons les fonctions thêta d'ordre deux, de caractéristique nulle, 

 paires, répondant au Tableau de périodes 



(T) 



