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Elles sont au nombre (\e luiil linéairement distinctes et l'on peut en 



déterminer quatre, 0, («, c) 6j(«, f) qui s'annulent (nécessairement à 



l'ordre deux) pour quatre demi-périodes p,, P2, p^, p,,. Nous choisirons ces 

 quatre demi-périodes formant un groupe de Rosenhain, par exemple les 

 demi-périodes 



(II'). (12'). (i3'), {y^^), 



d'après la notation de M. Humbert. 



Les quatre fonctions 0,, ..., 0^ sont liées par une équation algébrique 

 du quatrième ordre qui définit une surface; aux demi-périodes pi corres- 

 pondent, sur la surface, quatre coniques (], et, aux autres demi-périodes, 

 douze points doubles. 



L'équation du plan P, de la conique C, s'obtient en déterminant les 

 constantes X de manière que la fonction 



>.,0, -|->.2 0o -|-)v3 0s + 'X4 04 



s'annule à l'ordre quatre pour la demi-période pi. Or, on peut trouver une 

 fonction 6,(m, v) répondant au Tableau de périodes (T), du premier ordre, 

 et admettant la demi-période/?; pour zéro double et les trois autres demi- 

 périodes p pour zéros simples. L'équation 6,(?/, p) ^ o définit une droite 

 et l'équation 6j(«, (>) = o représente l'intersection résiduelle de la surface 

 par le plan de la conique Cj. Donc chacun des quatre plans P est tangent 

 à la surface le long d'une droite D. 



Celte propriété est caractéristique. Prenons, en effet, quatre plans 

 P,, ..., P< pour définir une surface du type considéré S. La surface coupe 

 le plan P,, en dehors de la droite de contact D,, suivant une conique C, 

 qui doit passer par les traces des droites Dj, D3, D4 sur le plan P, et être 

 tangente en ces points aux plans Pj, P3, P^. On en déduit que les plans P^ 

 menés respectivement par les droites D, et par les sommets opposés A,- du 

 tétraèdre Pj.-.P, forment un deuxième tétraèdre inscrit et circonscrit au 

 premier, ou encore que les huit plans P,, P^. forment un octuple gauche 

 complet. 



Dès lors, la configuration des quatre droites D et des quatre coniques C 

 dépend projectivement de deux paramètres. Or l'équation des surfaces du 

 quatrième ordre passant par les coniques C et tangentes aux plans P le 

 long des droites D renferme un paramètre linéaire ; les surfaces S dépendent 

 donc de trois paramètres au point de vue projectif. C'est précisément le 



