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données sur L pour -7—, on aura 



le point (^, y) étant sur G. 



Notre |)roblème revient donc à déterminer la fonction harmonique 

 U(a;, y) et la fonction V(ir, y) de manière que l'on ait les deux équations 

 fonctionnelles 



(2) V(a; y) + ^ fffi l, r,) V(E, r, ) loe j_ dl ,h = D (.1;. y) (dans A), 



Or l'élimination de V entre ces deux équations est facile. On peut, en 

 effet, tirer de l'équation (2) V en fonction de U à l'aide des méthodes 

 employées par M. Fredholm dans ce genre d'équations fonctionnelles. La 

 substitution dans (3) conduit alors, pour U, à une équation fonctionnelle 

 de la f( rme 



^^^ ^+//Q(E.-o;OU(E.^)./^r/^ = <I'(0 (sur G) 



où nous mettons en évidence l'arc s fixant la position d'un point sur le 

 contour G. La fonction Q est une fonction connue de (^, yi) et s. 



3. Nous avons donc à résoudre l'équation fonctionnelle (4) au moyen 

 d' une fonction hannonique U. 



Ce problème va se ramener à une équation fonctionnelle de Fredholm. 

 Prenons, en effet, [jour U un potentiel de simple couche relatif à la 

 ligne G, 



U = /"?(.) logly., 



r désignant la distance du point (a;, y) à l'élément d<j. 



En faisant la substitution dans (4), on est conduit pour p à l'équation 

 fonctionnelle 



p(,)+y"p(,)P(,.,),/, = A$(,), 



F(j, (j) étant une fonction connue. On a ainsi une équation de Fredholm 

 pour déterminer la densité p qui nous fera connaître U et, par suite, V. Le 

 problème est donc complètement résolu. 



