SÉANCE Dli 26 NOVEMBRE 190(1. 819 



formations de contact, que nous désignerons par (Cm), n étant im nondjre 

 entier. Prolongeons le groupe (G) en remplaçant par leurs expressions 

 toutes les dérivées dont le premier indice est au moins égal à deux et for- 

 mons le système des ct|uations aux déri\ées partielles aiixcpielles satisfont 

 les invariants différentiels d'ordre n de (G); le nombre de ces équations 

 est in et celui des variables qui y figurent est in 4- 3, il existe donc trois 

 invariants différentiels distincts. Posons 



i'»'=/.('ï". r. =./^ 7. ^. ('P,2,P«^< ••■./'o«). 

 y' = /2(^,J'. -•/". y. ^, t,P,-2,/>o ^P«n)y 

 -'=/i('^.r. ~-^P' 7> ^' './^2. />.,:, jPon). 



y, , /^, /., désignant ces trois invariants; nous allons montrer que :■' consi- 

 dérée comme une fonction de.r' et y' satisfait à une équation aux dérivées 

 partielles du second ordre. 



On obtient les expressions des dérivées des deux premiers ordres de s' 

 à l'aide des équations 



dz' — p'dv' — q' dy = o, 



dp' — r' dx' — s' dy' = o, 



dq' — s'dx' — l' dy = o, 



où l'on remplace dx, dy , dz' respectivement |)ar df^ , dj\, df^, : p' vt q' sont 

 des invariants différentiels d'ordre « -l- i, r , s', t' des invariants différen- 

 tiels d'ordre n-h 2; nous avons donc huit invariants x', y, z' , p', q' , r' , 

 s', t' . D'autre part, il ne peut y avoir que sept invariants distincts dont 

 l'ordre ne dépasse pas « -f- 2 ; par conséquent, il existe une relation 



F (a;', y', z,p', q', r', s', t') = o 



entre les invariants obtenus, c'est-à-dire que z' est une fonction de x' et j-' 

 qui satisfait à une équation de l'espèce annoncée. On voit facilement que 

 cette dernière équation est une équation de Monge-Anipère. 



Dans les Notes citées plus haut, le nombre n était supposé égal à un ; il 

 peut du reste arriver que la transformation définie par les équations (2) 

 équivaille à plusieurs des transformations que j'avais déjà signalées. Par 

 exemple, étant donnée l'équation 



*?(^.J. ■j)=o. 



