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il revient au même de prendre - pour nouvelle fonction inconnue ou de 

 poser successivement 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des équations différentielles. 

 Note de M. «T. Le Roux, présentée par M. Emile Picard. 



Dans la théorie des équations différentielles ordinaires la méthode d'in- 

 tégration d'Euler, qui consiste dans la recherche d'un facteur intégrant et 

 celle de I>ie, basée sur la théorie des groupes de translbrmalions, appar- 

 tiennent à des points de vue bien différents. Nous allons montrer qu'il 

 existe néanmoins entre elles une étroite relation. Le rapprochement des 

 deux théories n'a pas seulement pour effet de les simplifier toutes deux : il 

 fournit, en outre, les bases d'une méthode générale uniforme, d'un carac- 

 tère élémentaire, pour l'étude des équations différentielles. Les propriétés 

 si simples des équations linéaires s'étendent naturellement et presque sans 

 efforts aux systèmes les plus généraux. 



SoiL 



(■) j"" + /(a^,j,y, ...,r(''-") = o 



une équation différentielle d'ordre n. La méthode d'Euler consiste, comme 

 l'on sait, à chercher un facteur intégrant v(^x,y, y', . . ., _7''~'')' '^^' ^"^ '^ 

 produit 



soit la dérivée totale d'une fonction 0(a7, y, y' , . . , y"~''). La fonction in- 

 connue V doitvérifier l'équation aux dérivées partielles 



(2) X"')(.)-X'"-"(.^) + X--(r^)+...= o, 



oii l'on a posé 



^^> ~'dx'^ y lîy^ y 'dy' '^"''^^' ()ji"-2; ""./ (Jj(« -1)' 



X^(.) = X[X(.)], ...'. 

 D'antre part, j'ai montré {Travaux scientifiques de V U niversité de Rennes, 



