SÉANCE DU 26 NOVEMBRE 1906. 82 1 



l. IV, p. 244) qi''à toule transformation infinitésimale conservant l'équa- 

 tion (1) on peut faire correspondre une fonction génératrice ou caracté- 

 ristique 



u{x,y,y\y", ...,y«-"). 



solution de l'équation aux dérivées partielles 



(3) X>"'(.0 + ^, X'-U/O + ^^X^-'C») +...^ o. 



La comparaison des cqualions (2) et (3) conduit à généraliser la notion 

 de ré(iuaLion adjointe de Lagrange. La relation entre les deux équations 

 est en effet absolument semblable à celle qui existe entre deux équations 

 linéaires et homogènes adjointes l'une de l'aulre. \a\ seule différence con- 

 siste dans le remplacement du symbole -7- par le symbole X. 



L'intégrale générale de l'équation (3) peut s'exprimer à l'aide d'un sys- 

 tème fondamental de. solutions particulières, //,, u.,, ..., //„. p.ir !;; formule 



où les coefficients [/. sont des intégrales de l'équation 



(4) x([.) = o 



(ces intégrales remplacent les constantes de la théorie des équations 

 linéaires). 



A tout système fondamental de solutions de l'équaliou (3; correspond 

 un système fondamental de solutions de l'équation adjointe (2). On le 

 calcule exactement comme pour les équations linéaires à |) art la dilïérence 

 de notation signalée plus haut. 



Si l'on connaît un groupe transitif de transformations infiuitésiuiales des 

 intégrales de (i) on en déduit d'abord, sans intégration, un système fonda- 

 mental d'intégrales de l'équation (3), ce qui permet de calculer ensuite le 

 système fondamental correspondant de l'équation (2). La niélhoded'Euler 

 permet alors d'achever l'intégration de l'équation (i) [)ar de simples qua- 

 dratures. 



Lorsque l'équation proposée est linéaire, il existe un groupe transitif de 

 transformations infinitésimales dont les fonctions caractéristiques dépen- 

 dent seulement de la variable indépendante. C'est à la considération de ce 

 groupe que se réduit en réalité la théorie élémentaire. 



