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Ce théorème comprend divers corollaires que j'ai déjà en partie indiqués : 



II. Quand a ^ o et ^^ i, a", a~', «'+ a~\ V sont transcendants. 



III. Le logarithme d'un nombre rationnel ou algébrique réel ^ i, dans 

 le système de base a rationnelle ^ i, ne peut être un nombre I satisfaisant 

 à (2). Par suite son développement en fraction continue arithmétique a son 

 ordre (autrement dit, la rapidité de croissance de ses quotients incomplets) 

 limitéi 



IV. Il en est de même pour la racine positive de l'équation x^= m, oh 

 m est algébrique > i . 



On peut défitiir des ensembles de nombres de Liouville satisfaisant à (2), 

 dont chacun forme un groupe par rapport aux quatre opérations fonda- 

 mentales de l'arithmétique, et tels que le résultat I reste vrai, moyennant 

 certaines restrictions (les a^ et les l'^'^i), quand les I'-" appartiennent à 

 un même ensemble. 



On démontre aussi, pour ces ensembles ou d'autres plus généraux, l'im- 

 possibilité d'une identité de la forme 



où leâ J'*' et les I* sont des nombres d'un même ensemble (les J'*' ^ o, 

 les I'*' distincts). En observant que ces ensembles contiennent les fractions 

 rationnelles à coefficients entiers formés avec un nombre de l'ensemble, 

 on obtient un énoncé et divers corollaires que j'ai indiqués, au moins en 

 partie, ailleurs. 



Les résultats contenus dans la présente Note feront l'objet d'un Mémoire 

 plus détaillé. 



GÉOMÉTRIE. — Remarques sur la recherche des surfaces isolhermiques . 



Note de M. L. Rakfy. 



M. Rudolf Rothe ayant rappelé dans une Note récente (^Comptes rendus, 

 i5 octobre 1906) l'équation dont il a fait dépendre la recherche des sur- 

 faces isothermiques, je vais comparer cette équation avec celle que j'em- 

 ploie pour le même problème {Comptes rendus , 26 juin igoS; Annales de 

 l'École Normale, igoG). 



