SÉANCE DU 3 DÉCEMBRE 1906. 87$ 



1. M. Rollie considère (Inaugural Disserlation, Berlin, 1897) une surface 

 isothcrmiqiie, rapportée à ses lignes de courbure (M = const., f = const.); 

 il représente son élément linéaire par w~^{du^ + dv"^) et ses courbures 

 principales par r, et r^. Il introduit ensuite la fonction auxiliaire 

 R = (r, + r.,)w~^ et prouve (p. 23) que cette fonction vérifie l'équalion du 

 quatrième ordre 



(D) ^(RAlo§R + ^)=.f(^), 



où les symboles # et A ont les significations s(jivantes : 



M. Rolbe ne précise pas le détail des opérations que l'on devra faire, 

 connaissant une solution de l'équation (D), pour déterminer les surfaces 

 correspondantes. Il indique (p. 24) ^"6 la fonction R'=(r, — rj)^"' vé- 

 rifie aussi réqiiatiiin (D). 



Par une mclhode tout à fait différente de celle de M. Rolhe, M. Calapsô 

 (Rendicontidi Palermo, 1903) a obtenu pour la fonction R (et aussi pour la 

 fonction R') l'équation 



(C) A#(R)+;;^^^=o, 



^ ' ^ ^ 2 Ou Ov 



qui n'est qu'une autre forme de l'équation (D) et qui, d'ailleurs, résulte 

 immédiatement des deux relations 



§{^) = h, f f +AR=+AA = o, ih^'^) 

 ^ ' ' du di- \ w ) 



établies (p. 18) par M. Rolhe. L'analyse de M. Calapsô montre que, con- 

 naissant une solution de l'équation (C), on devra, pour déterminer intrin- 

 sèquement les surfaces correspondantes, intégrer qn système complet dont 

 l'intégrale générale dépend de cinq constantes arbitraires ; pour obtenir les 

 expressions des coordonnées, il reste encore, com.me on sait, à intégrer 

 deux équations de Riccali. 



2. Dans les travaux précités, j'emploie l'équation de Bonnet que vérifie 

 toute coordonnée isotrope ç d'une surface d'élément linéaire 49* dxd'i. Les 

 dérivées de c, étant désignées par p, q, r, s, t, cette équation s'écrit 



(i) {rt — i-)ç — a/jp-j,;— a/y^p^,-!- 4/39(}.;{j= o; 



