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quand on en connaît une solution (^, ç), la surface correspondante s'ob- 

 tient par des quadratures. A cette équation qui est, relativement à la fonc- 

 tion ç, une équation de Laplace d'invariants h et k, j'associe la condition 

 d'isothermie 



(2) 



t(L\--L-±(± 



A„(«)^A?V B„(p)(?|3V9^ 



et j'élimine cp. J'obliens ainsi pour l, une équation du quatrième ordre, 

 qu'on peut mettre sous la forme très simple 



« v.(^) 



^^^^-4(ê;=°- 



A toute solution (E, A^, Bo) de cette équation correspond un système 

 complètement intégrable formé par les équations (i), (2) et les deux déri- 

 vées premières de l'équation (3); l'intégrale générale © de ce système est 

 une fonclion linéaire et homogène de deux constantes arbitraires ; elle s'ob- 

 tient par quadrature (Mémoire cité, p. 4o5) dès que l'on connaît une valeur 

 particulière de <p. 



3. La différence des opérations qu'il reste à effectuer, suivant que l'on 

 possède une solution de l'équation (D) ou une solution de l'équation (F), 

 s'explique quand on exprime R et R' en fonction de Ç; on trouve, en effet, 



(4) ■ R'=-ii=i/I^ = 4i^, R=4i^> 



en désignant par t' ce que devient l'invariant t dans la transformation de 

 Bour-Christoffel. D'après les formules de passage 



(5) sfÂ^da. -)- v'Bo d^^'j. du, VAo (l^- — V^B„ dl^ = 2idi>, 



l'expression de R' devient 



■'■=--(S-S)[(0-(l)T*- 



En conséquence, l'équation de M. Rothe est une équation du sixième 

 ordre pour la fonction E; or, il va sans dire que l'équation (F) reste du 

 quatrième ordre quand on y fait le changement de variables (5), avec ou 

 sans la supposition facultative A„= B„ = i. 



4. Il n'est pas sans intérêt de chercher ce que devient dans notre sys- 

 tème de notations l'équation (C) de M. Calapso. J'y remplace R par R' 



