SÉANCE DU 3 DÉCEMBRE I906. 877 



et R' par son expression (4); puis j'effectue le changement de variables (5) 

 et je trouve, tous calculs faits, 



I d ( (>> loi;TT,\ / 1 \' d y , / I 





ou, sous forme pins condensée, 



(6)' ^\!Ll2^-L(lL^^o ^'"'°""^'''^- 



Cette équation appellerait bien des remarques. Disons seulement qu'elle 

 conduit à chercher les surfaces pour lesquelles t, est nul (voir Mémoire 

 précité), les surfaces de révolution et certaines surfaces à neuf constantes 

 arbitraires qu'on définit intrinsèquement en prenant t =^ m(^<x. -h P)~"; on 

 est alors amené, quelle que soit la constante m=^i, à une équation aux 

 fonctions mêlées traitée par M. Darboux Çf/icorie des surfaces, t. II, p. 210). 



5. L'équation (F) suffisant à caractériser les surfaces isothermiques, il 

 est certain a priori que l'équation (6) doit pouvoir s'en déduire. Voici 

 comment on vérifiera qu'd en est bien ainsi : désignant par *!> le premier 

 membre de l'équation (F), qu'on forme la combinaison 



L\/Va V//PJ S 



* 



I à p^\ 

 da. \p d^ s J 



après des calculs asseic longs, on retrouvera, terme pour terme, le premier 

 membre de l'équation (6), ce qui prouve que l'équation de M. Rothe est 

 une conséquence de notre équation (F). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — -Sur les points critiques des fonctions inverser, 

 Note de M. A. Hurwitz, présentée par M. Emile Picard. 



Soit s:=f(:-) une fonction uniforme, méromorphe dans tout le plan 

 excepté au point à l'infini qui est un point singulier essentiel de la fonction. 

 D'après un théorème classique de M. Picard la fonction inverse z = g{s) de 

 la foncliony(5) a une infinité de déterminations pour un argument* donné, 

 sauf peut-être pour une ou deux valeurs exceptionnelles de s. 



