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Comment délerminer les points critiques de la fonction mnltiforme g(s)^ 

 C'est une question importante pour beaucoup de recherches et qui n'a pas 

 encore reçu à ma connaissance une répi>nse satisfaisante. Dans les lignes 

 qui suivent je me propose de donner l'énoncé d'un théorème qui carac- 

 térise les points critiques de g{s) d'une manière générale. 



D'après un théorème de Weierstrass, qui n'est d'ailleurs qu'un simple 

 corollaire du théorème cité de M. Picard, on peut faire tendre z vers l'infini 

 de telle sorte quey(^) tende vers une valeur arbitrairement donnée. Mais 

 il n'en est plus ainsi lorsque l'on impose la condition que z doit tendre vers 

 l'infini d'une manière continue. Je veux dire ceci : si l'on fait 



s=cp(t) + «|(t), 



(p (t) et ^{^(ir) étant des fonctions réelles de la variable réelle t, continues 

 pour aS-ï<^b et telles que Lim [çp(t)h- /^(t)] = ce, il se peut que 



lÀm/i^z) ait une valeur finie et déterminée. 



z = h 



Mais on ne peut pas, en général, déterminer f (t) et A(t) de telle sorte 

 que cette valeur limite de f(z) coïncide avec une valeur arbitrairement 

 donnée. Maintenant désignons les valeurs limites def(z) qui peuvent être 

 obtenues de la manière indiquée par le symbole Lim/(z) ; désignons, en 



outre, par r-^ les zéros de/' (z). On a le théorème suivant : 



Les points critiques à distance finie de la fonction inverse z = g(s) sont les 

 points 



"=/(->■) et s = Umf{z). 



oc 



L'exemple le plus simple est fourni par la fonction s = e*. Pour cette 

 fonction, il n'existe aucun point z^ et la seule valeur Lim e"" est zéro. Donc, 



la fonction inverse z = logs n'a que le point critique ^ = o. Pour la fonc- 

 tion s = ze^~, il y a un seul point z^= 1 et une seule valeur Lim^e -"= o. 



Donc, la fonction inverse de ze~'' n'a que les points critiques 5 = - et ^ = o. 

 En appliquant notre théorème à l'équation de Kepler 



z — a 



s = — : > 



smz 



on trouve que la solution z de celte équation considérée comme tonction 



