8So ACADÉMIE DES SCIENCES. 



^2,1) f^3,i, '^3,2» ^t.i^ '^i.2» ^^1,3 étant six entiers et g(x,y,z) une fonction 

 entière de œ, y, z ailmcLtant la période ^ît. relativement à chacune des 

 Aariables. Nous mettons en évidence les parties réelles et les parties ima- 

 ginaires de a, p, y en posant 



Il y a entre les X, les [j. et les m une condition d'inégalité nécessaire à 

 laquelle on parvient de la façon suivante. 



Par le changement de variables suivant (X, ^ o) : 



les quatre systèmes de périodes précédents deviennent les quatre suivants : 



o, 2 «77, 



O, o, 



o>', ip', 

 avec 



w = — y-; w-=2?- — 277^; (i = — 27r^; y=_2TCj-, 



'i'^'. ..'^ 2?'7T — 277^'- °— ^'- ^' 



X, IJ.0 X^jA, 



(i' = 



^. 



En outre, en suivant l'analyse que j'ai indiquée dans mon Mémoire 

 Sur les fondions péiiodiques (^Annales de l'Ecole Normale supérieure, t. XIX, 

 3* série, p. 3o à 89), on peut remplacer la fonction f{x,y, z) par la fonc- 

 tion entière <t>(X, Y. Z) qui satisfait aux relations suivantes : 



<Î)(X, Y + 2/77,7.) =<I.(X,Y,Z), 



$(X,Y,Z ■^2J7t) =c''^<I)(X,Y, Z), 



«PCX + co, Y + /^, Z -h /y) = e"-+'-z+/'..v.z, ^^^^ y, Z), 



(I-(X + 0/, Y + f &', Z + /y') = e«x+"'v + cT+/„Y,7.i <j,^x, Y, Z), 



A, (Y, Z) et h^{Y, Z) sont les fonctions entières de Y et de Z; a, h, c, 

 a' , b' , c' sont des constantes; la constante a' est égale à , „ en posant 



A = 2m^,,77X, 4- 2m, o'^X, + 2/n^ 3X3 + m.^^{l^ij..^ — XoIj.,) 

 -t- m^^^{\.Y.^ — X,[7.2) + /n3,,(X3p., — X,p.3). 



