SÉANCE DU 3 DÉCEMBRE I906. 88 1 



Celte valeur de A est, nous allons le montrer, nécessairement |)osilive. 



Soit 'F(X, Y, Z) la dérivée partielle logarithmique prise par rap|)ort à X 

 de<I>(X, Y. Z). 



Si l'on attribue à Y et Z des valeurs quelconques, mais fixes, le nombre 

 des zéros de <E>(X, Y, Z) situés à l'intérieur d'un parallélogramme construit 

 dans le plan de la variable X sur les deux segments yow, qiù (p et q étant 

 des entiers positifs) menés à |)artir d'un point Xq, sera donné par l'inté- 

 grale 



N^*=ri^/'^(^'^'^^^''^' 



prise le long du parallélogramme dans le sens direct. 



On peut démontrer, en se servant des formules écrites ci-dessus, que N^,,/ 

 est donné par la formule 



,. / B C A \ 



dans laquelle B et C ont des modules inférieurs à un nombre positif M indé- 

 pendant de/j et y; le signe à prendre devant N^^ étant -\- si 1, <[ o et — si 



N 

 X, > o. Siyo et y augmentent tous rfewa; indéfiniment, le quotient — ^S essen- 



A . A . 



tiellement positif, a pour limite r- si >., <| o et —3- si >,, > o. Donc 



A ne peut pas être négatif. 



Il ne peut pas être nul si la fonction 4>(X, Y, Z) s'annule et s'il n'existe 

 pas de relation de réduction entre les périodes; car j'ai montré (^loc. cit.) 

 que, dans ce cas, on peut construire un réseau de parallélogrammes de 

 dimensions/?, (0, q,(ù' tel qu'il y ait au moins un zéro de <I'(X, Y, Z) dans 

 chacun des parallélogrammes. 



peut être appelé le nombre moyen de zéros 



Remarquons enfin que 



a, 



par parallélogramme des périodes w et u' dans tout le plan de la variable X 

 et que ce nombre (généralement incommensurable) est indépendant de Y 

 et Z. Les considérations précédentes s'étendent immédiatement à un 

 nombre quelconque de variables. 



C. h., igoCi, 2- Semestre. (T. CXLlll, N" 23.) 



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