SÉANCE DU If) DÉCEMBRE 1906. 953 



CORRESPONDANCE. 



M. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées 

 (le la Correspondance : 



Les Tomes XVII et XYIII de l'édilioa nationale des Opère ai Galileo 

 Galilei, publiée sous les auspices de Sa Majesté le roi d'Ilalic. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des ensembles. 

 Noie (le M. Félix Berxsteix, présentée par M. H. Poincaré. 



Pour dtmontrer le principe d'induction complètes au sens que lui at- 

 tribue M. Poincaré (voir Revue de Métaphysique et de Morale, t. XIV, 1906, 

 p. 3i3), il serait indispensable de ilémonlrer d'abord le théorème d'équi- 

 valence de la théorie des ensembles, sans faire usage de ce principe lui- 

 même. Mais, comme l'a remarqué M. Poincaré en même lieu, la démon- 

 stration de ce dernier théorème, que j'ai donnée autrefois (voir Borel, 

 Théorie des Jonctions, 1898, p. io4), ne remplit pas cette condition. De là 

 résulte la question de savoir s'il est possible de modifier la démonstration 

 de telle sorte qu'on évite tout à fait l'emploi de l'iiuluction complète. 



M. Zermelo a essayé une démonsiration de ceUe espèce, en se fondant sur le concept 

 de la chaîne établi par M. Dedekind comme base d'une théorie d'induction complète. 



M. Peano, d'autre part (Rend, dcl Cire. Mal. del Palenno, t. XXI, 1906), donne 

 aussi une démonstration essentiellement identique à celle de M. Zermelo (voir, par 

 exemple, la définition n" i). 



M. Poincaré, en commuriiquant la déduction de iM. Zermelo, critique, avec des 

 considérations très profondes, l'emploi du concept de la chaîné dans les circonstances 

 présentes. Cette critique irréfutable s'étend d'ailleurs d'elle-même aux développe- 

 ments de M. Dedekind qui ont pour bul dtî démontrer le principe d'induction coin- 

 plèle. 



C'est M. Kônig [voir Sur la lliéorie des ensembles [Comptes rendus, 9 juillet 1906)] 

 qui a réussi le premier ;i donner une démonstration du ihéorètue satisfaisant à la con- 

 dition imposée. 



Pour mettre bien en lumière le point où se marque la difl'érence des considérations, 

 je donnerai aussi, en quelques lignes, sur la base de ma démonstration antérieure, une 

 telle démonstration en soulignant le point où il y a modification. 



