SÉANCE DU lO DÉCEMBRE I906. ()55 



cliiction complète que tous ces ensembles sont différents entre eux; alors 

 on a eu 



<p(R, + R, -f- H;, + . . .) = R, + R3 + R, + . . .. 



On est conduit en tout cas à la conclusion principale, qu'on peut négliger 

 l'ensemble R,. Mais il n'est pas nécessaire de disenter en détail la consli- 

 tution de l'ensemble (R,, Ro, . . .). Après avoir vu cela, on construit immé- 

 diatement la représentation cherchée ij;, en représentant tous les éléments 

 de l'ensemble (R,, R., . . .) par la loi <[> et en laissant non variant tout li; 

 reste. La démonstration est complète. 



Je dois insister encore sur la définition de l'ensemble R = (R,, Ro, . . .) 

 (voir PoiNCARÉ, loc. cit.. p. 307). En premier lieu, cette définition est-elle 

 prédicativc ? Il me semble qu'il en est ainsi, car on ne définit l'ensemble R 

 qu'après avoir défini tous ses ensembles constituants R,, R^, ... sans 

 nommer R lui-même. Nous constatons que le plus petit multiple d'un nombre 

 quelconque d'ensembles définis est toujours dé/i ni prédicativement . 



D'autre part, en écrivant les ensembles R,, R,, ... avec les signes i, 

 2, . . ., ne fait-on pas emploi du nombre ordinal, qui à son tour implique 

 l'uiduction complète? 



Je suis bien d'accord avec M. R.onig qu'on n'a pas à craindre d'avoir fait 

 un cercle vicieux. 



En effet, on ne fait aucune considération qu'on puisse transformer de 

 manière à avoir un raisonnement sur les indices 1,2, ... des ensembles R,, 

 R,. .... Par cette raison les qualités logiques de ces indices, d'ailleurs 

 encore inconnus, ne fournissent rien à la matière logique de nos con- 

 clusions. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la puissance des systèmes orthogonaux 

 de fonctions continues. Note de M. Ekiiaru Schmidt, présentée par 

 M. Emile Picard. 



Soit t un ensemble infini de fonctions réelles et continues dans l'inter- 

 valle (o, i), et soit pour chaque fonction <p(a;) de C 



I 



[(f(x)]-dx ^1. 

 Nous supposerons de |)lus que C est un système orthogonal, c'esl-à-dire 



