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que l'on a toujours 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



r 



(p(a;) et '^{x) désignant deux fonctions quelconques de C. 



On sait que de tels systèmes orthogonaux de fonctions jouent un rôle 

 considérable dans la théorie des équations différentielles et intégrales. 



Nous allons démontrer que €, doit être nécessairement dénomhrable . 



Prenons dans C un nombre quelconque fini de fonctions 



Alors, pour chaque fonction continue/(ic), nous aurons l'identité suivante 

 due à Bessel : 



/T/(-^)-2;?p(^)//C7)?pO')^aT^/^ 



f\f{x)Ydx - f r ff(y) .pp(.v) dyV, 



d'où il suit 



2;[^'/(.>-)?p(.v)^']'£/"[/(r)J^^r. 



On conclut de là qu'il n'y a dans C qu'un nombre fini de fonctions ©(^r) 

 vérifiant l'inégalité 



ff{x)',{x)dxTlk, 



k étant un nombre positif donné. Par conséquent les fonctions 9 (a:) de c, 

 pour lesquelles on a 



f f{x)^{x)d.r 



>o. 



formeront un ensemble dénomhrable D. 



En prenant successivement poury(.r) les fonctions 



I, cosiTzx, s,\ni7:x, ..., cos2/i-.r, sin2«7r.r, 



on trouvera ainsi une suite d'ensembles dénomhrables 



D,, Da, 1)3, .... D„, ..., ad inf. 



ad inf. 



