SÉANCE DU lO DÉCliMBRE I()i)6. 937 



L'ensemble des fondions de c, f|iii figurent dans un au moins de ces 

 ensembles D„, sera donc aussi dénornbrahle. Or ces fonctions épuisent entiè- 

 rement c. Car il n'y a pas de fonction continue différente de zéro, dont tous 

 les coefficients de Fourier s'annulent (voir, par exemple, le Mémoire de 

 M. LÉopoLD Fejér, Math. Aiinalen, t. LVIII ): ce qu'il fallait démontrer. 



Il est aisé d'étendre les considérations précédentes à un nombre quel- 

 conque de variables. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le calcul des limites. Note de M. L. Fejér, 

 présentée par M. Emile Picard. 



Soit 



{i= I, 2, ..., n) 



un système d'équations différentielles, où les y sont fonctions des^, seuls, 

 bolomorphes pour | jk, | <Z>(< = i , 2, . . ., n), et ne s'annulant pas simulta- 

 nément pour r,= o (/= I, 2. ..., n').S\, pour un système de la forme (i), la 

 variable indépendantea- entre elle-même dans les seconds membres, il fau- 

 dra ajouter au système l'équation ■ ,"7"' ~ i avec v,,^, = o pour x = o, dans 



quel cas la condition pour y, = o mentionnée se trouve satisfaite d'elle- 

 même. 



Pour établir l'existence d'un système de solutions bolomorphes s'annu- 

 lant pour X =■ o, désignons par a,,_,^ ,,^ celle des n quantités 



l<v,...vj (i = i, 2, ..., n), 



qui ne soit pas plus petite que les autres, et formons la série à coefficients 

 non négatifs 



(2) /(/. . j2. • • • . y,,) = 2av,v,-.,.v„ y':y^- ■ ■/:; 



dont la convergence pour |r,| <^b (i = 1, 2 n) est manifeste et pour 



laquelle /(o, o, . . . , o) >> o. 



En prenant cette fonction f{Y, , JK^. ■ • • > fn ) comme fonction majorante 

 commune pour toutes les n fonctions f ^, f^i • • • > /«. l'application du prm- 



C. R., 1906, 2- Semestre. (T. CXLIII, N- 24.) I 2t> 



