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cipe (lu calcul des limites exige l'intégration du système auxiliaire 



^^) g=/(Y,,Y„...,YJ (J=^,o^,...,n) 



;ivec 



Yi = Yo = . . . = Y„= o |)()ur a- = o, 



c'est-à-dire l'intégration de l'équation unique 



d:Z: 



(4) ^=/(Y,Y,...,Y) = <ï>(Y) 



avec 



Y ^ o pour X = o, 



où la série $(Y) à coefficients non négatifs est convergente pour | Y 1 •< Z* 

 et ne s'annule pas pour Y = o. La question d'existence des solutions holo- 

 morphes du système (i) se trouve donc ramenée à l'intégration de l'équa- 

 tion (4), intégrable par une simple quadrature. 



Ajoutons quelques remarques relatives au rayon de convergence auquel 

 nous conduit la majorante (2). Tandis que la majorante de Cauchv, comme 

 l'a démontré M. Picard, donne un rayon de convergence toujours plus 

 petit que le rayon vrai, la majorante (2) fournit, dans des cas spéciaux, le 

 vrai rayon de convergence. Ainsi, par exemple, dans le cas d'un système 

 tel que (3). Pour l'exemple j'= er^ (jK = o pour x = o), la majorante de 



Cauchy donne, dans le cas le plus favorable, le rayon —, la méthode de 



Cauchy-Lipschitz et celle des approximations successives fournissent au 



plus la valeur -> tandis que notre majorante (2) donne le vrai rayon 1. Ou 



encore, pour le système de M. Painlevé, 



dx '' da- •^" dx ~y^^^y-2 



avec 



V, =70=7.3 = pour a; = o, 



les méthodes classiques citées donnent respectivement au plus les va- 

 leurs -pj et I pour le rayon de convergence, tandis que l'équation (4)> 

 intégrable immédiatement, nous conduit à la valeur 



^= - — arc {ans -^ > -• 



