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les V,- étant des fonctions de la variable indépendante x, lorsque les 

 constantes C,- sont liées par une relation algébrique. Nous nous proposons 

 de rechercher ce qui advient lorsque les constantes C,- sont liées par plu- 

 sieurs relations algébriques. 



Soit, pour simplifier l'écriture, une équation différentielle du premier 

 ordre 



dont le premier membre est un polynôme entier irréductible en y, y', et 

 dont l'intégrale générale est représentée par 



(2) y = c, y, -h C,Y-, -+- (J;, V3 + c, y, , 



les constantes C,- étant liées par trois relations algébriques. Cela revient à 

 dire que toutes les solutions de (i) appartiennent à l'équation différentielle 

 linéaire et homogène de quatrième ordre 



(3) j" _^ Ay"+ B v"-h cy-h Dr = o, 



où A, B, C, D sont des fonctions de .v et dont l'intégrale générale est 

 l'expression (2). Écrivons qu'il en est ainsi. En dérivant l'équation (i) 

 trois fois de suite et en remplaçant y'" par sa valeur tirée de (3), on obtient 

 les équations 



(4) 



f ê - ^(.x" + •^v"'+ fi/'+ cy + Dj) = o. 



I£n éliminant y", y'" entre ces trois équations (4), le résultant, qui doit 

 être nul, fournira l'équation 



où R est un polynôme en >', y'. Cette dernière équation doit admettre 

 toutes les solutions de /= o qui est irréductible. R doit donc être 

 divisible par /(ou identiquement nul). On aura donc R = /<p où (p est un 

 polynôme en y, y . 



