SÉANCE DU lo DÉCEMBRE 1906. c)6i 



Celle condilion est siiffisanle. En effet, il existe trois polynômes en v, /, 

 y", y" que nous désignerons par o,, ip.j, o,, tels que la combinaison 



df d'-f 



' ' dj: ' dx- ' 



£;' - |^(:.v"+ Ay"+ Hr'+ (:.v'+ Dj)] 



soit un polvnoine indépendant de y", y'". Ce sera le polynôme R(j7, r,y') 

 qui est égal à /ç. On a donc l'identité 



(5) 0.,% + 0,^ + <p, ;^. - 0/= Ç3|;(yv+ Av"+ B,r"+ (:/ + Dr). 



Si l'on V remplace y et ses dérivées par leurs valeurs tirées de (2), en 

 gardant le svmboley, le second membre est nul et la fonctiony vérifie une 

 équation linéaire et homogène du troisième ordre dont les coefficients 

 dépendent de x, C,, C2. C^, (■'.. L'intégrale générale de cette équation est 

 de la forme 



((i) 



i/--.r,x/.(a;, c,,c,,(;,.c,) 



\ +r,x. /;(>:■,(;,. c,, c,, c,) + r,x/3(.ï-, c,, c,.c,, c,). 



oii r,, r., F;, .'-ont des constantes. On en conclut que si, dans /', on rem- 

 place j et j'' par leurs valeurs tirées de (2), le premier membre dey prend 

 la forme (G) où T,, To, T;, dépendent de C,, Co, C,, C,. En posant 



r, = r, = r, = o, 



on auray=o et l'expression (2) contenant encore une constante arbi- 

 traire sera l'intégrale générale de /= o. Le raisonnement est général. La 

 relation R '=^f'^ caractérise donc les équations dont il s'agit. 

 Dans le cas d'une seule relation, on a 



i-f,(v"+Ay+Bx) = R=/,. 



Le premier membre est un polynôme en y, y' dont le degré est au plus 

 égal à celui de f. Donc ç ne contient ni y, ni y' et est seulement fonction 

 de a;. On a donc l'identité 



I -?(-)./= |^(y+A/+Bv). 

 C'est le théorème de M. Ap[)( 11. 



